Сайт Архив WWW-Dosk
Удел МогултаяДобро пожаловать, Гость. Пожалуйста, выберите:
Вход || Регистрация.
11/17/19 в 01:51:47

Главная » Новое » Помощь » Поиск » Участники » Вход
Удел Могултая « Догма и аксиома »


   Удел Могултая
   Вавилонская Башня
   Вавилонская Блудница и ее обычай
   Догма и аксиома
« Предыдущая тема | Следующая тема »
Страниц: 1 2 3 4 5  6 Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать
   Автор  Тема: Догма и аксиома  (Прочитано 15095 раз)
Guest is IGNORING messages from: .
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #30 В: 10/22/04 в 15:48:39 »
Цитировать » Править

on 10/21/04 в 18:13:21, Vladimir wrote:

Простите, наверное вы правы, а я просто не знаю точно "вашего" языка, но чем "плохо" определение операции сложения
 
a+b=S(a), если b=1 и a+b=S(a)+P(b), где S(P(b))=b, если b>1 ?
 
Где тут я должен прибегать к интуиции? Я ввожу определение и применяю его, доказываю непротиворечивость по отношения к имеющимся аксиомам, достраиваю до абелевой группы по сложению, получая целые числа и так далееSmiley где на этом пути мне нужна интуиция?

 
Ну конечно же вот здесь: "так далееSmiley". Smiley
Интуиция нужна в тот момент, когда нам надо признать "истинность" того или иного утверждения - мы прикидываем, обладают ли столь родные нам натуральные числа указанным свойством или нет.
Вообще об истинности: те три пункта, которые Вы описали выше, всем хороши, но сводят понятие истинности только к допустимым выводам из аксиом, которые также принимаются истинными априори (это воистину формалистский подход). Здесь есть две проблемы. Во-первых, на каком основании мы принимаем ту или иную аксиому как истинную? Конечно, на основании интуиции. Возьмем арифметику. Кто сказал нам, что ab=ba? На примерах бананов и яблок все работает. Легко также обобщить до "геометрической интуиции", которую Вы недавно назвали не более, чем гимнастикой для ума.
Действительно:
***
***
***
***
***
это то же самое, что
*****
*****
*****
 
Чем не доказательство (для человека) коммуникативности по умножению, сиречь переместительного закона?
Но дело-то в том, что для чисел порядка 2 в степени (2 в степени 65536) мы уже не можем доказать его себе подобным образом. Мы уповаем на свою интуицию, которая говорит нам, что если это верно для 1, 2, 3, то верно и для ,... Smiley
Ладно, допустим, мы приняли аксиомы лишь однажды на веру и дальше хотим этим ограничиться. Но ведь теорема Гёделя и говорит нам, что коль скоро мы приняли все аксиомы достаточно богатой системы А, то должны принять и истинность "гёделева аргумента", утверждения о непротиворечивости А, хотя из правил системы А это утверждение выводиться не может. Итак, какую бы мы систему не взяли (содержащую арифметику и логику), нам ее заведомо не хватит для доказательства истинности всех утверждений, которые могут быть в этой системе сформулированы, и которые мы - интуитивно - понимаем как истинные.
 
Касательно интуитивного понимания концепции натуральных чисел: предположим, что мы взяли некоторую формальную систему и тот аргумент, который мы не можем вывести из нее, но, тем не менее, интуитивно принимаем как истинный.
По теореме все того же вездесущего Гёделя о полноте, существует интерпретация этой формальной системы, в которой все выводимые результаты останутся истинными, а вот "гёделевский аргумент" (сформулированный для случая натуральных чисел, конечно же), будет иметь значение "ложно". В такой интерпретации на место тех символов, которые означали натуральные числа при гёделевском доказательстве, встанут некие другие числа, иное значение будут иметь логические связки и кванторы и т.д., но мы лишь интуитивно сможем понять, что именно вот эта интерпретация относится не к случаю милых нашему сердцу натуральных чисел, известных нам по бананам и яблокам, а будут означать нечто иное. С точки зрения выбранной изначально формальной системы они будут равноправны. Что это, если не интуитивное понимание о натуральных?
 
Vladimir, по поводу геометрии, пока мне удалось лишь найти утверждение о том, что для суждений некоторого частного вида (тот самый вариант "без наворотов"), евклидова геометрия может быть выражена в виде формальной системы - это использовалось при машинном доказательстве некоей "гипотезы Тебо". Очевидно, использовалась система аксиом Гильберта, а вот какие правила - пока непонятно. Рискну предположить, что все теоремы "школьной геометрии" подобным образом выразимы.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #31 В: 10/22/04 в 17:10:46 »
Цитировать » Править

on 10/22/04 в 15:48:39, V.A.Gonsky wrote:

 
Ну конечно же вот здесь: "так далееSmiley". Smiley

 
Да Эру с вами! "И так далее" относится исключительно к моему образу действий, а никак не к выводу вещественных чисел.
 
Сначала я ввожу натуральные числа, затем определяю операцию сложения и умножения, затем дополняю положительные числа нулем и отрицательными, получая таким образом числа целые. Соответственно возникает операция вычитания.
Следующий шаг - ввожу числа рациональные, введением понятия деления на любое число кроме нуля. Для удобства школьников объявляю что все 4 операции имеют смысл на всем множестве целых чисел (да и натуральных) там, где они дают результат в пределах этого множестваSmiley
 
Шаг третий - ввожу понятие сечений и их точных верхних граней (в терминах, если мне память не изменяет, московской научной школы - верхних границ). Объявляю эти сечения вещественными (действительными) числами.
 
Аплодисменты, занавес закрывается Grin
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #32 В: 10/22/04 в 17:36:54 »
Цитировать » Править

Теперь об "истинности", если позволите.
 
on 10/22/04 в 15:48:39, V.A.Gonsky wrote:

Интуиция нужна в тот момент, когда нам надо признать "истинность" того или иного утверждения - мы прикидываем, обладают ли столь родные нам натуральные числа указанным свойством или нет.

 
А вот Гаусс (цитату не найду, читал об этом еще лет 12 назад) сразу все формально воспринимал, не в духе "интуитов" XVIII века. И вообще, для науки не имеет ни малейшего значения, из каких соображений я пришел к верному выводу, имеет значение лишь одно: сумел я этотвывод математически строго доказать, или нет.
 
Quote:
Вообще об истинности: те три пункта, которые Вы описали выше, всем хороши, но сводят понятие истинности только к допустимым выводам из аксиом, которые также принимаются истинными априори (это воистину формалистский подход).
 
 
Второй пункт верен, а первый - нет. У нас есть набор аксиом, истинны те утверждения которые верны в рамках этой системыSmiley А то что вы пишите - это доказуемость.
 
Quote:
Здесь есть две проблемы. Во-первых, на каком основании мы принимаем ту или иную аксиому как истинную? Конечно, на основании интуиции. Возьмем арифметику. Кто сказал нам, что ab=ba? На примерах бананов и яблок все работает.

 
Основание? Четыре ноги и хвост - вот мое основание! Grin С точки зрения математики основание одно: предложенная система аксиом непротиворечива. С точки зрения естественных наук основание другое - "хрен его знает, как это работает, но результаты с практикой совпадают"
 
Quote:
Легко также обобщить до "геометрической интуиции", которую Вы недавно назвали не более, чем гимнастикой для ума.
Действительно:
***
***
***
***
***
это то же самое, что
*****
*****
*****
 
Чем не доказательство (для человека) коммуникативности по умножению, сиречь переместительного закона?

 
Да вот не доказательство, знаете лиSmiley
 
Доказательство это, например, вот что:
Лемма (она же - основа для метода индукции): a=a*1=1*a для любого натурального а (доказательство опускается за очевидностью, могу привести при желанииSmiley )
Шаг индукции: предположим, что a*b=b*a для любых а,b > 1. Тогда (a+1)*b = a*b+1*b = a*b+b = b*a+b = b+b*a = b*(1+a) = b*(a+1)
Ч.т.д.
 
Нам вашего воображения не надо, у нас все ходы записаны Grin
 
Quote:
Но дело-то в том, что для чисел порядка 2 в степени (2 в степени 65536) мы уже не можем доказать его себе подобным образом. Мы уповаем на свою интуицию, которая говорит нам, что если это верно для 1, 2, 3, то верно и для ,... Smiley

 
Вам - да. А у меня доказательство естьSmiley
 
Quote:
Но ведь теорема Гёделя и говорит нам, что коль скоро мы приняли все аксиомы достаточно богатой системы А, то должны принять и истинность "гёделева аргумента", утверждения о непротиворечивости А, хотя из правил системы А это утверждение выводиться не может.
 
 
Что-что-чтоHuh На стол колоду, господа. Я прошу ссылку (можно на бумажный источник, тогда просьба привести здесь полный текст теоремы) на теорему Геделя в таком виде. Лично я сталкивался только и исключительно с иными вариантами формулировки.
 
Quote:
Касательно интуитивного понимания концепции натуральных чисел: предположим, что мы взяли некоторую формальную систему и тот аргумент, который мы не можем вывести из нее, но, тем не менее, интуитивно принимаем как истинный.
По теореме все того же вездесущего Гёделя о полноте, существует интерпретация этой формальной системы, в которой все выводимые результаты останутся истинными, а вот "гёделевский аргумент" (сформулированный для случая натуральных чисел, конечно же), будет иметь значение "ложно".

 
Ссылку.
 
Quote:
Рискну предположить, что все теоремы "школьной геометрии" подобным образом выразимы.

 
В школьной геомертии указывается на задачи трисекции угла и удвоения куба, так что ограничение должно быть более узким, если существует вообще.
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #33 В: 10/22/04 в 17:45:25 »
Цитировать » Править

Кстати, для тех кто не знает: есть такой известный автор, Смаллиан, он написал несколько "говололомочных" книг. В частности, там довольно хорошо разобрана теорема Геделя на "несерьезном" уровне.
 
http://golovolomka.hobby.ru/books/smullian/name/content.shtml
« Изменён в : 10/22/04 в 17:45:50 пользователем: Vladimir » Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #34 В: 10/22/04 в 17:55:56 »
Цитировать » Править

on 10/22/04 в 17:10:46, Vladimir wrote:

 
Да Эру с вами! "И так далее" относится исключительно к моему образу действий, а никак не к выводу вещественных чисел.

Я имел в виду, что наиболее критично интуиция требуется математику в дальнейшем, что скрывается за мистическим выражением "и так далее". Одного принятия системы аксиом, ясное дело, не хватает для вывода всех теорем, истинность которых мы можем установить тем или иным (выходящим за рамки первоначальной системы) способом.
Дальнейшие разъяснения - не сегодня, я в цейтноте.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #35 В: 10/23/04 в 15:42:53 »
Цитировать » Править

on 10/22/04 в 17:36:54, Vladimir wrote:
И вообще, для науки не имеет ни малейшего значения, из каких соображений я пришел к верному выводу, имеет значение лишь одно: сумел я этот вывод математически строго доказать, или нет.

Так мы и говорим о том, что такое математическая строгость. Вон, Гильберт тоже очень хотел, чтобы все было доказано математически строго. Однако, вышел облом-с.
Quote:

Второй пункт верен, а первый - нет. У нас есть набор аксиом, истинны те утверждения которые верны в рамках этой системыSmiley А то что вы пишите - это доказуемость.

Ээээ... А что такое у Вас "верны"?  Roll Eyes
Quote:

Основание? Четыре ноги и хвост - вот мое основание! Grin С точки зрения математики основание одно: предложенная система аксиом непротиворечива. С точки зрения естественных наук основание другое - "хрен его знает, как это работает, но результаты с практикой совпадают"

Да ну, ничего подобного. Можно привести сколько угодно формальных непротиворечивых систем аксиом, их изучение, конечно же, внесет большой вклад в теорию формальных систем, но обычно математика претендует на что-то все же большее. Например - на изучение свойств натуральных чисел. А аксиомы о натуральных числах мы вводим на основании своей интуиции.
Quote:

Да вот не доказательство, знаете лиSmiley
 
Доказательство это, например, вот что:
Лемма (она же - основа для метода индукции): a=a*1=1*a для любого натурального а (доказательство опускается за очевидностью, могу привести при желанииSmiley )
Шаг индукции: предположим, что a*b=b*a для любых а,b > 1. Тогда (a+1)*b = a*b+1*b = a*b+b = b*a+b = b+b*a = b*(1+a) = b*(a+1)
Ч.т.д.
 
Нам вашего воображения не надо, у нас все ходы записаны Grin

Контора пишет! Smiley
А дело-то в том, что Ваше всем-доказательствам-доказательство требует принятия мат.индукции как аксиомы, а мое - нет. Это был пример, собственно.
Кстати, о матиндукции. Слышали ли Вы о теореме Гудстайна? Ее нельзя доказать, основываясь на матиндукции, однако же можно доказать, используя некий новый "интуитивно очевидный" метод - трансфинитную индукцию. И так всегда - по теореме Гёделя - аксиом и правил не хватает, и приходится "выдумывать" новые, сообразно нашему чувству математической интуиции.
Quote:

Что-что-чтоHuh На стол колоду, господа. Я прошу ссылку (можно на бумажный источник, тогда просьба привести здесь полный текст теоремы) на теорему Геделя в таком виде. Лично я сталкивался только и исключительно с иными вариантами формулировки.
 
Ссылку.

Я все-таки не успеваю сегодня с этой объемной темой, постараюсь в воскресенье.
Quote:

В школьной геомертии указывается на задачи трисекции угла и удвоения куба, так что ограничение должно быть более узким, если существует вообще.

Ну, вероятно в этой системе формализуются суждения типа "диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам", в отличие от "можно ли построить с помощью циркуля и линейки...". Последние, как известно, и не доказываются в рамках школьной геометрии.
Я продолжу поиски, если термин "школьная геометрия" Вам кажется некорректным. Речь, повторю, идет о некоей усеченной версии суждений, которые допускается называть теоремами - в этом случае евклидова геометрия описывается полной формальной системой.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #36 В: 10/24/04 в 13:03:32 »
Цитировать » Править

on 10/23/04 в 15:42:53, V.A.Gonsky wrote:

Так мы и говорим о том, что такое математическая строгость. Вон, Гильберт тоже очень хотел, чтобы все было доказано математически строго. Однако, вышел облом-с.

 
Облом вышел в том, что не все удается доказатьSmiley Но уж что доказано - то доказано.
 
Quote:
Ээээ... А что такое у Вас "верны"?  Roll Eyes

 
Ну как, берем ещик помидор. В нем все кроме двух помидоров - красные, два - зеленые. Утверждение, что все помидоры в ящике красные, неверноSmiley
 
Quote:
Да ну, ничего подобного. Можно привести сколько угодно формальных непротиворечивых систем аксиом, их изучение, конечно же, внесет большой вклад в теорию формальных систем, но обычно математика претендует на что-то все же большее.

 
Вы ее с естественными науками не путаете, часом?
 
Quote:
А аксиомы о натуральных числах мы вводим на основании своей интуиции.

 
А какая разница, почему  придумаю те или иные аксиомы, важно что полученная система непротиворечива.
 
Quote:
А дело-то в том, что Ваше всем-доказательствам-доказательство требует принятия мат.индукции как аксиомы, а мое - нет.

 
Имменно, сударь, именноSmiley Вот только два момента"
1. Приняв однажды мат.индукцию, после этого я спокойно доказываю все, что мне нужно.
2. Принять ее придется и вам, иначе вы в жизнь не отличите множество вещественных чисел от множества гиперреальных (или как там его Коши (?) обозвал), множества в котором мирно соседствуют вещественные и "бесконечно малые" числа.
 
Quote:
И так всегда - по теореме Гёделя - аксиом и правил не хватает, и приходится "выдумывать" новые, сообразно нашему чувству математической интуиции.
Я все-таки не успеваю сегодня с этой объемной темой, постараюсь в воскресенье.

 
Давайте дождемся вашего описания теоремы Геделя. Оно очень расходится с тем, что известно мнеSmiley
 
Quote:
Я продолжу поиски, если термин "школьная геометрия" Вам кажется некорректным. Речь, повторю, идет о некоей усеченной версии суждений, которые допускается называть теоремами - в этом случае евклидова геометрия описывается полной формальной системой.

 
Я не верю в существование такого подмножества, так что буду очень благодарен за следы этого чудо-юда в природеSmiley И, кстати, получается (по вашей же формулировке теоремы Геделя), что аксиомы Евклида "недостаточно сложны"?
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #37 В: 10/24/04 в 22:04:32 »
Цитировать » Править

on 10/24/04 в 13:03:32, Vladimir wrote:

Облом вышел в том, что не все удается доказатьSmiley Но уж что доказано - то доказано.

Именно так. Но на самом деле Гёдель внес фундаментальный вклад в само наше понимание того, в каком отношении состоят математическая истина и формальная доказуемость, а не просто обломал Гильберта с его формализмом. А в таком отношении, что без интуиции обойтись нельзя. Какую бы мы единожды не выбрали формальную систему (с арифметикой и логикой), для установления всех истинных утверждений, которые она позволяет сформулировать, придется выйти за ее пределы.
Quote:

Ну как, берем ещик помидор. В нем все кроме двух помидоров - красные, два - зеленые. Утверждение, что все помидоры в ящике красные, неверноSmiley

Это апелляция к интуиции или к формальной логике?
Quote:

Вы ее с естественными науками не путаете, часом?

Нет, не путаю. Просто "натуральные числа" - это, в некотором роде, "естественный" объект, свойственный нашей когнитивной структуре, а не формальное понятие.
Quote:

А какая разница, почему  придумаю те или иные аксиомы, важно что полученная система непротиворечива.

Нет, большая разница, почему Вы их придумаете. Аксиомы сами должны быть "интуитивно очевидными". Арифметика с аксиомой выбора или континуум-гипотезой тоже непротиворечивы. Равно как и арифметика с отрицанием аксиомы выбора или отрицанием континуум-гипотезы. Так что важно знать, _почему_ и для чего выбирается та или иная система аксиом.
Я обещал про теорему Геделя о полноте разъяснить, вот что имелось в виду: "Доказательство Гёделя дает способ построения контрмодели (т.е. модели для отрицания) всякой формулы А, невыводимой в Генцена формальной системе без сечения" (цит. по см. ниже). Сие означает, что существует интерпретация, в которой "интуитивно истинное" утверждение, например о непротиворечивости системы аксиом, оказывается ложным. Не на натуральных числах, а на неких других.
Quote:

Имменно, сударь, именноSmiley Вот только два момента"
1. Приняв однажды мат.индукцию, после этого я спокойно доказываю все, что мне нужно.
2. Принять ее придется и вам, иначе вы в жизнь не отличите множество вещественных чисел от множества гиперреальных (или как там его Коши (?) обозвал), множества в котором мирно соседствуют вещественные и "бесконечно малые" числа.

1. Теорему Гудстайна не докажете. Smiley
2. Да я не собираюсь ее не принимать. Я иллюстрировал лишь то, что для понятия "истины" нам нужно нечто сверх любой системы аксиом, хоть самой распрекрасной.
Quote:

Давайте дождемся вашего описания теоремы Геделя. Оно очень расходится с тем, что известно мнеSmiley

Это вторая теорема Гёделя о неполноте, не понимаю, с чем оно у Вас расходится. Roll Eyes
Цитирую по математической энциклопедии: Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики, найдется формально неразрешимое суждение, т.е. такая замкнутая формула А, что ни А, ни ~A не являются выводимыми в системе. Вторая Г. т. о н. утверждает, что при выполнении естественных дополнительных условий в качестве А можно взять утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы.
Quote:

Я не верю в существование такого подмножества, так что буду очень благодарен за следы этого чудо-юда в природеSmiley И, кстати, получается (по вашей же формулировке теоремы Геделя), что аксиомы Евклида "недостаточно сложны"?

Под достаточной сложностью я понимал включенность арифметики. В этом смысле аксиомы Евклида недостаточно сложны.
Касательно чудо-юда: придется процитировать сэра Роджера Пенроуза, чью позицию я, в общем-то, и излагаю.
There is a difference, however, in that what a logician might refer to as 'Euclidian geometry' can indeed be specified (with some reservations*) in terms of a particular formal system, whereas, as Goedel has shown, ordinary 'arithmetic' cannot be so specified.
 
* - In fact it depends upon which statements are considered as part of what is being called 'Euclidian geometry' here. In the usual terminology of the logicians, the system of 'Euclidian geometry' would only include statements of certain particular kinds, and it turns out that the truth or falsity of such statements can be resolved in terms of an algorithmic procedure - hence the assertion that Euclidian geometry can be specified in terms of a formal system.
...
R.Penrose "Shadows of the mind"
 
К сожалению, он не дает ссылку на литературу по этой проблеме, но я предлагаю поверить Оксфордскому профессору. Smiley
« Изменён в : 10/25/04 в 11:24:02 пользователем: V.A.Gonsky » Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Бенни
Administrator
*****


б. Бенедикт

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2542
Re: Догма и аксиома
« Ответить #38 В: 10/25/04 в 02:58:57 »
Цитировать » Править

Несколько замечаний.
В.А., Вы хотите сказать, что система натуральных чисел – некая культурная универсалия, заданная устройством нашего мозга? Почему же тогда некоторые индейцы Амазонии до сих пор считают по принципу «один, два, много» и переучиванию в зрелом возрасте не поддаются? Особенно неожиданно это звучит в устах человека, упорно отрицавшего на ХА наличие культурных универсалий даже там, где они действительно были обнаружены антропологами, а именно в этике.
О теореме Гёделя. Мне попадалось ее сопоставление с проблемой останова машины Тьюринга. Истинные высказывания можно промоделировать программами, которые останавливаются за конечное время, а доказуемые – теми, конечность которых можно установить с помощью другой конечной программы. В этих терминах теорема Гёделя утверждает, что не существует универсальной конечной программы для проверки других программ на конечность.
Да, насчет количества измеримых множеств я был неправ. Это борелевских множеств только континуум, а измеримых по Лебегу – гиперконтинуум, как и неизмеримых (достаточно взять все подмножества канторова совершенного множества, имеющего мощность континуума и лебегову меру нуль).
Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #39 В: 10/25/04 в 10:56:14 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 02:58:57, Бенедикт wrote:
Несколько замечаний.
В.А., Вы хотите сказать, что система натуральных чисел – некая культурная универсалия, заданная устройством нашего мозга? Почему же тогда некоторые индейцы Амазонии до сих пор считают по принципу «один, два, много» и переучиванию в зрелом возрасте не поддаются?

Про устройство мозга - это была моя вольность. На самом деле, конечно, я не знаю, каким местом человек постигает концепцию натуральных чисел, из платоновского мира идей, или же это форма априорного созерцания или еще что-то неизвестное. Факт состоит в том, что свести идею натуральных чисел к формальной системе правил невозможно, и это, как ни удивительно, можно доказать математически.
Quote:

Особенно неожиданно это звучит в устах человека, упорно отрицавшего на ХА наличие культурных универсалий даже там, где они действительно были обнаружены антропологами, а именно в этике.

Минуточку, Бенедикт, на ХА обсуждалось нечто совсем другое, во-первых, _происхождение_ этики, биологическое или культурное, а вовсе не отсутствие универсалий. Универсалия вообще понятие субъективное и зависит от выбора семантики. Скажем, понятие добра получает свою "универсальность" посредством введения понятия "свои", настолько зыбкого и произвольного, что лично меня это не убеждает в "природности" этики у человека. Во-вторых, натуральные числа в этом смысле объект несколько более объективный, что совершенно не означает, что он априори обязан быть постижим всеми людьми без исключения. Известно, что ребенок, в детстве не слышащий человеческого языка, практически не поддается обучению языку во взрослом возрасте - не развивается центр речи (наверное, он расположен в третичной коре, которая развивается в это время, впрочем, непринципиально). Можно предположить, что у индейцев не развивается некий "центр счета". Что не опровергает факта, что мозг принципиально разбирается в том, что же такое эти самые натуральные числа.
Quote:

О теореме Гёделя. Мне попадалось ее сопоставление с проблемой останова машины Тьюринга. Истинные высказывания можно промоделировать программами, которые останавливаются за конечное время, а доказуемые – теми, конечность которых можно установить с помощью другой конечной программы. В этих терминах теорема Гёделя утверждает, что не существует универсальной конечной программы для проверки других программ на конечность.

Да, разумеется, это ее эквивалентная формулировка. Тьюринг и пришел к своей проблеме останова, изучив доказательство Гёделя.
С точки зрения установления математической истины формальные системы эквивалентны алгоритмам доказательства, формальная система требует алгоритмического способа проверки на применимость правил вывода, а машина Тьюринга, задающая некую процедуру доказательства, сводима к формальной системе - это можно показать.
Не очень ясна только разница между истинными и доказуемыми утверждениями. Если смотреть в неком глобальном смысле, задав за правила формальной системы все правила доказательств того, что некая машина Тьюринга не останавливается, известные математикам и признаваемые за "достоверные", то теорема Гёделя покажет, что существует некая МТ, которая не остановится, и что этот факт не может быть выведен из правил изначальной системы.
Из этого делается вывод, что для установления математической истины математики не прибегают (исключительно) к алгоритмической процедуре.
« Изменён в : 10/25/04 в 10:58:37 пользователем: V.A.Gonsky » Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #40 В: 10/25/04 в 13:57:41 »
Цитировать » Править

on 10/24/04 в 22:04:32, V.A.Gonsky wrote:

Какую бы мы единожды не выбрали формальную систему (с арифметикой и логикой), для установления всех истинных утверждений, которые она позволяет сформулировать, придется выйти за ее пределы.

 
Это безусловно, с этим-то никто и не спорит.
 
Quote:
Это апелляция к интуиции или к формальной логике?

 
Smiley
 
Речь идет о том, что любое утверждение или истинно, или ложно. При этом часть из них мы доказать можем, а часть - нет.
 
Quote:
Нет, не путаю. Просто "натуральные числа" - это, в некотором роде, "естественный" объект, свойственный нашей когнитивной структуре, а не формальное понятие.

 
Третий раундSmiley А для меня это-таки формальный объект, а не что-то там "естественное". Дальше драться будем Grin ?
 
Quote:
Нет, большая разница, почему Вы их придумаете. Аксиомы сами должны быть "интуитивно очевидными". Арифметика с аксиомой выбора или континуум-гипотезой тоже непротиворечивы. Равно как и арифметика с отрицанием аксиомы выбора или отрицанием континуум-гипотезы. Так что важно знать, _почему_ и для чего выбирается та или иная система аксиом.

 
Мой ответ - да все они хороши. Одни в одном случае пригодятся, другие - в другом. А математики их про запас кропают, вдруг какому-нибудь физику в будущем пригодитсяSmiley
 
 
Quote:
Это вторая теорема Гёделя о неполноте, не понимаю, с чем оно у Вас расходится. Roll Eyes
Цитирую по математической энциклопедии: Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики, найдется формально неразрешимое суждение, т.е. такая замкнутая формула А, что ни А, ни ~A не являются выводимыми в системе. Вторая Г. т. о н. утверждает, что при выполнении естественных дополнительных условий в качестве А можно взять утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы.
Под достаточной сложностью я понимал включенность арифметики. В этом смысле аксиомы Евклида недостаточно сложны.

 
Проблема, однако. Берем какую-нибудь "достаточно сложную" систему аксиом и добавляем к ней аксиому 2*2=5. Проще система от этого явно не становится, а вот доказывается противоречивость полученной системы на разSmiley
 
Quote:
Касательно чудо-юда: придется процитировать сэра Роджера Пенроуза, чью позицию я, в общем-то, и излагаю.

 
Понял, спасибо. Т.е., буду теперь знать, что можно как-то построить "геометрию без арифметики", только непонятно какSmiley В любом случае, спасибо.
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
Бенни
Administrator
*****


б. Бенедикт

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2542
Re: Догма и аксиома
« Ответить #41 В: 10/25/04 в 14:11:15 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 10:56:14, V.A.Gonsky wrote:

натуральные числа в этом смысле объект несколько более объективный,

 
А что значит "более" или "менее" объективный?
 
Quote:
Не очень ясна только разница между истинными и доказуемыми утверждениями.

 
Я понимаю так: формальные правила доказательства тоже можно представить в виде программы машины Тьюринга (Икс) и применить к коду другой программы (Игрек). Программа Икс должна в результате конечного числа операций выдавать один результат для останавливающихся Игреков и другой - для неостанавливающихся. Если она выдала первый результат, высказывание, соответствующее программе Игрек, считается доказанным. Аналог теоремы Гёделя утверждает, что нельзя придумать такую программу для всех Игреков сразу.
 
Об остальном позже.
 
Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #42 В: 10/25/04 в 15:48:05 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 13:57:41, Vladimir wrote:

Речь идет о том, что любое утверждение или истинно, или ложно. При этом часть из них мы доказать можем, а часть - нет.

Так я все пытаюсь у Вас выяснить, что Вы называете истинным, в том случае, когда оно недоказуемо?
Quote:

Третий раундSmiley А для меня это-таки формальный объект, а не что-то там "естественное". Дальше драться будем Grin ?

Какой же это формальный объект, если все свойства этого объекта невозможно задать аксиоматически?
Quote:

Мой ответ - да все они хороши. Одни в одном случае пригодятся, другие - в другом. А математики их про запас кропают, вдруг какому-нибудь физику в будущем пригодитсяSmiley

Это-то понятно. Похоже, мы просто о разном. Вы говорите о том, для чего они, а я о том - как устанавливается истинность.
Quote:

Проблема, однако. Берем какую-нибудь "достаточно сложную" систему аксиом и добавляем к ней аксиому 2*2=5. Проще система от этого явно не становится, а вот доказывается противоречивость полученной системы на разSmiley

См. условие теоремы, сама система аксиом должна быть непротиворечивой.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #43 В: 10/25/04 в 15:52:12 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 14:11:15, Бенедикт wrote:

А что значит "более" или "менее" объективный?

Натуральные числа я считаю более объективными, чем добро, поскольку для их определения мы пользуемся менее субъективными критериями. По крайней мере, более интерсубъективными.
Quote:

Я понимаю так: формальные правила доказательства тоже можно представить в виде программы машины Тьюринга (Икс) и применить к коду другой программы (Игрек). Программа Икс должна в результате конечного числа операций выдавать один результат для останавливающихся Игреков и другой - для неостанавливающихся. Если она выдала первый результат, высказывание, соответствующее программе Игрек, считается доказанным. Аналог теоремы Гёделя утверждает, что нельзя придумать такую программу для всех Игреков сразу.

Совершенно верно, но Вы на вопрос мой не ответили - какая разница между утверждениями истинными и доказуемыми?
« Изменён в : 10/25/04 в 16:04:51 пользователем: V.A.Gonsky » Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Бенни
Administrator
*****


б. Бенедикт

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2542
Re: Догма и аксиома
« Ответить #44 В: 10/25/04 в 19:31:30 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 15:52:12, V.A.Gonsky wrote:

Натуральные числа я считаю более объективными, чем добро, поскольку для их определения мы пользуемся менее субъективными критериями. По крайней мере, более интерсубъективными.

 
Все равно, даже со своим любимым словом Smiley - не понимаю.  
 
Quote:
Совершенно верно, но Вы на вопрос мой не ответили - какая разница между утверждениями истинными и доказуемыми?

 
Если конечность программы можно установить путем _наблюдения_ за ее работой, пока она не остановится, соответствующее утверждение считается истинным. Если то же самое устанавливается без запуска, путем применения вспомогательной программы - доказуемым. Первое множество шире.
 
Зарегистрирован
Страниц: 1 2 3 4 5  6 Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать

« Предыдущая тема | Следующая тема »

Удел Могултая
YaBB © 2000-2001,
Xnull. All Rights Reserved.