Сайт Архив WWW-Dosk
Удел МогултаяДобро пожаловать, Гость. Пожалуйста, выберите:
Вход || Регистрация.
10/22/19 в 23:37:11

Главная » Новое » Помощь » Поиск » Участники » Вход
Удел Могултая « Догма и аксиома »


   Удел Могултая
   Вавилонская Башня
   Вавилонская Блудница и ее обычай
   Догма и аксиома
« Предыдущая тема | Следующая тема »
Страниц: 1 2 3 4 5 6  Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать
   Автор  Тема: Догма и аксиома  (Прочитано 15062 раз)
Guest is IGNORING messages from: .
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #45 В: 10/25/04 в 19:57:29 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 19:31:30, Бенедикт wrote:

Все равно, даже со своим любимым словом Smiley - не понимаю.  

Натуральные числа натуральны и в Африке, а вот добро повсюду разное. Вы, наверное, возразите, что оно тоже одинаковое, т.к. человек, условно говоря, применяет золотое правило этики к "своим". На это я возражу, что понятие "свои" повсюду разное итд.
С натуральными числами, вроде бы, такой неразберихи нет.
Что заставляет меня думать о том, что человеку изначально присуща возможность постигать эту абстрактную концепцию, что называется, "по железу". Как - непонятно. Понятно, что присуща. Это и есть интерсубъективность. Вроде интерсубъективности цветового зрения итп, хотя и с ним не так все просто, как с натуральными числами.
Quote:

Если конечность программы можно установить путем _наблюдения_ за ее работой, пока она не остановится, соответствующее утверждение считается истинным. Если то же самое устанавливается без запуска, путем применения вспомогательной программы - доказуемым. Первое множество шире.

Наверное, все же второе множество шире, т.к. никто не мешает нам включить во вспомогательную программу (например - универсальную МТ) механизм простого запуска рассматриваемой программы. Следовательно, любое истинное утверждение доказуемо (в Вашей терминологии). Очевидное расхождение с теорией.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #46 В: 10/25/04 в 20:32:26 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 15:48:05, V.A.Gonsky wrote:

Так я все пытаюсь у Вас выяснить, что Вы называете истинным, в том случае, когда оно недоказуемо?

 
А вот тут я с вами соглашусь - для этого необходимо в ряде случае (истинных недоказуемых утверждений) внешнее по отношению к системе знание. Просто меня как раз такие случаи интересуют малоSmiley
 
Quote:
Какой же это формальный объект, если все свойства этого объекта невозможно задать аксиоматически?

 
Все что мне нужно - можно Grin
 
Quote:
Это-то понятно. Похоже, мы просто о разном. Вы говорите о том, для чего они, а я о том - как устанавливается истинность.

 
Похоже. Только для меня истинность едоказуемых утверждений - дело десятое, с доказуемыми бы разобратьсяSmiley
 
Quote:
См. условие теоремы, сама система аксиом должна быть непротиворечивой.

 
А как мы это можем проверит заранее?
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #47 В: 10/26/04 в 11:03:08 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 20:32:26, Vladimir wrote:

А как мы это можем проверит заранее?

Без интуиции - никак.
Собственно, о том и теорема, что _если_ система непротиворечива, то изнутри системы мы никак не сможем доказать это. Противоречивость же системы доказуема куда проще - перебором.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: Догма и аксиома
« Ответить #48 В: 10/26/04 в 19:00:35 »
Цитировать » Править

Все это, господа, чрезвычайно поучительно.
 
''- Вы слыхали о теореме Гудстайна?
 - Да, конечно. Но не в метрике Махаланобиса!"
 
Владимир, твое раскрашенное счетное множество имеет лебегову меру нульSmiley А дело так. Ты определил отношение эквивалентности; назовем две точки на единичной окружности эквивалентными, если они переходят одна в другую при повороте на угол n (n -целое). Классов эквивалентности - континуум; выберем из каждого по одному представителю, получится множество N. Будучи повернутым на углы n, оно заполнит окружность - поэтому у него нет определенной счетно-аддитивной меры - ни нулевой, ни положительной.
 
Множества, неизмеримые по Лебегу - нежить. Они существуют, но их нет. Мы в них принуждены _верить_, но никогда мы не увидим конструктивно построенного неизмеримого множества.
 
Когда-то году в 74-м, роясь в реферативных журналах, я наткнулся на статью некоего Soloway в Bulletin of the American Mathematical Society. Он предлагал заменить аксиому выбора в системе Цермело-Френкеля некоей другой аксиомой (столь же релятивистско-рационально проверяемой, как и аксиома выбораSmiley ) - после чего каждый линейный оператор, определенный НА ВСЕМ банаховом пространстве, становился ограниченным (оно на самом деле было бы так, если бы не чертовски-божественная цермелистикаSmiley ).
 
Г-н V.A. Gonsky, вы действительно считаете, что 'новый "интуитивно очевидный" метод тансфинитной индукции' действительно нов и действительно очевиден?  Huh
 
Мне кажется, неискушенных в основаниях математики посетителей Удела интересует топик: аксиомы математики более похожи на естественно-научные гипотезы (как считают Антрекот, и, кажется, Ан-чан) - или на религиозные догматы? Я лично склоняюсь ко второму, и могу эту точку зрения защищать 8)
Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #49 В: 10/26/04 в 19:19:16 »
Цитировать » Править

on 10/26/04 в 19:00:35, Bark wrote:
Г-н V.A. Gonsky, вы действительно считаете, что 'новый "интуитивно очевидный" метод тансфинитной индукции' действительно нов и действительно очевиден?  Huh

Имелось в виду, что он новый относительно той системы аксиом, в которой теорему нельзя доказать, т.е. системы Пеано.
Словосочетание "интуитивно очевиден" имеет в нашем контексте несколько другой смысл, чем в обычном словоупотреблении. То есть "очевиден" только интуитивно, хотя это, в некотором роде, тавтология.
Quote:

Мне кажется, неискушенных в основаниях математики посетителей Удела интересует топик: аксиомы математики более похожи на естественно-научные гипотезы (как считают Антрекот, и, кажется, Ан-чан) - или на религиозные догматы? Я лично склоняюсь ко второму, и могу эту точку зрения защищать 8)

Было бы интересно выслушать Ваши аргументы.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: Догма и аксиома
« Ответить #50 В: 10/26/04 в 20:02:38 »
Цитировать » Править

Хорошо. Только завтра.
 
Барк
Зарегистрирован
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #51 В: 10/27/04 в 17:44:16 »
Цитировать » Править

Барк, ага, это мы уже поняли в ЖЖ БенедиктаSmiley
 
Правда, помню я пример множества на этой основе, только сейчас ни времени, ни сил нет его до ума довспоминатьSmiley
 
А аксиомы для меня не религия а так, лишняя коровенка у Матроскина: есть непротиворечивая система - и ладушки, потом пригодится Grin
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Бурбак проснулся. Поднимите мне веки!
« Ответить #52 В: 10/28/04 в 16:24:06 »
Цитировать » Править

V.A. Gonsky: А что Бурбаки говорят по этому поводу?
 
Vladimir: Конкретно они - не знаюSmiley Но имея сомнительное удовольствие пытаться разобраться в их талмуде, не верю что они относились к натуральным числам как к интуитивно понятным объектам, чье поведение надо лишь описать формальноSmiley

 
Цитата (Н. Бурбаки, Теория множеств, гл. III, 4.1):
 
Определение: Говорят, что кардинальное число A конечно, если A <> A+1; конечное кардинальное число называется также натуральным числом.
 
Предложение: Для того, чтобы кардинальное число A было конечным, необходимо и достаточно, чтобы A+1 было конечным.

 
(Ощущение, как будто Библию цитируешьSmiley )  
 
Пояснения: "кардинальное число" - это мощность множества, то есть класс эквивалентности всех равномощных множеств (множества равномощны, если между ними возможно установить взаимно однозначное соответствие - это древнейшая математическая идея счета на пальцах); "=" - отношение равномощности; "A+B" - мощность объединения двух множеств с мощностями A и B.
 
Все разумное - действительно, и все действительное - разумноSmiley Натуральное число определяется как количество. Это правильно.
 
Но самое интересное - это определение единицы. Того, что Нечто существует. Это песня. 1 - это мощность множества, состоящего из пустого множества; 0 - это мощность самогО пустого множества; а 2 - это мощность множества, состоящего из пустого множества и множества, состоящего из пустого множества. И так далее.
 
Склоните головы, господа! Вначале бе Слово. Великое здание математики созиждется из пустого множества. Пока мы веруем в существование последнего, математика не погибнет. Да не усомнимся.
 
Ехидно: Австралию каждый найдет, если захочет. Или путешественникам поверит. Кто-нибудь видел своими глазами Пустое Множество? И покажите мне Математика, который в него не верит.
 
До сих пор Адам протирал глаза и именовал сущности: 1,2,3... Но Грехопадение провиденциально - Змий начеку (гл. III, 6.1):
 
Аксиома: Существует бесконечное множество.
 
(Смутившись собственной дерзостью, Бурбаки тут же поясняют: пока это утверждение не доказано, будем считать его аксиомой)
 
Опять полюбопытствую: кто-нибудь видел Бесконечное Множество? Чего нибудь?
 
Ведь Бурбаков никто не отменил, вавилоняне. На них ссылаются. Это - современная математика. Вписывается ли она в вавилонский мир, с пользой и импассией?
 
Дадим слово оппоненту, великому Анри Пуанкаре. Вот что он пишет в книге "Наука и метод", критикуя логиков Бурали-Форти и Кутюра (и математики, и нематематики - в частности, как мне известно из обмена мнениями между Григорием Скороводой и почтенным Урхитессобом на Heart of Sword - читали перевод-сборник "Анри Пуанкаре о науке", 1990). Прошу прощения, но без TeX'а мне не обойтись, а показать хочется Smiley ):
 
Мы видим, что Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом:
$$
   1 = \iota T^prime\{\text{Ko} \frown (u,h)\epsilon(u\epsilon \text{Un})\}.
$$
Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали!
 
Я слишком мало понимаю приверженцев Пеано, чтобы рискнуть его критиковать; но я опасаюсь, что это определение заключает petitio principii, так как я вижу цифру 1 в первой части и изображенное буквами слово "Un" ("один") во второй части равенства.
 
Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после коротких вычислений приходит к уравнению

$$    
    1 \epsilon NO,
$$
которое дает нам понять, что "один" есть число.
 
Так как нам теперь приходится иметь дело с определениями простых чисел, то мы напомним, что Кутюра также определил 0 и 1.
 
Что такое нуль? Это число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента.  
 
Определять нуль при помощи нулевого класса, а нулевой класс при помощи термина "никакой" - это значит поистине злоупотреблять богатством языка; поэтому Кутюра ввел усовершенствование в свое определение, написав:

$$
    0 = \iota\Lambda : \phi x = \Lambda.o.\Lambda = (x \epsilon\phi x),
$$
что означает: нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется.
 
Но так как "никогда" обозначает "ни в одном случае", то я не вижу значительного успеха в этой замене.
 
Спешу прибавить, что определение, которое Кутюра дает числу 1, более удовлетворительно.
 
"Один - говорит он - в сущности, есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны."
 
Это определение более удовлетворительно, как я сказал, в том смысле, что для определения понятия 1 автор не пользуется словом "один". Зато он пользуется словом "два". И я боюсь. что если спросить у Кутюра, что такое "два", он должен будет в ответе воспользоваться словом "один".

 
Я прекращаю цитирование - разговор Пуанкаре с Адамаром напитан, кажется, таким ядом ехидства, который уже неуловим, но поражает наповалSmiley
 
На эти инсинуации Бурбаки обиженно отвечали (postfactum, в "Историческом очерке" к "Теории множеств"):
 
...Пуанкаре постоянно смешивал понятие целого числа в формализованной математике и только намечавшееся тогда использование целых чисел в теории доказательства... Пуанкаре, который, чтобы пробить брешь в формализме, подхватил на свой лад идею Гильберта, подчеркивая с ехидным удовольствием, до какой степени далеки были формалисты от возможности ее осуществления...
 
Вавилоняне, эти, почти современные, споры, что они больше напоминают? Спор естествоиспытателей, или спор схоластов? А Пуанкаре был великим естествоиспытателем.
 
PS У Бурбаков превосходные "Исторические очерки" - к каждой их книге. Даже не бурбакистам рекомендую их читать.
« Изменён в : 10/28/04 в 16:43:37 пользователем: Bark » Зарегистрирован
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
В жанре дзуйхицу :)
« Ответить #53 В: 10/29/04 в 14:34:39 »
Цитировать » Править

Я продвигаюсь по треду... как улитка по склону Фудзи, типаSmiley
 
Ципор: Вопросы:
 
1) чем догма отличается от аксиомы?
 
Имхо, тем, что аксиома конвенциональна либо личностна, и на абсолютную, не зависящую ни от чего, верность не претендует.
 
[...]
 
Дугласу отвечено, что догмой, по определению, называется нечто, что является безусловной истиной, чего в р-р этике не наблюдается.
 
Еще / me думает, что рациональная этика опирается на соображения пользы, желания и приоритеты (частные и общественные). Все вышеперечисленное назвать догмой нельзя, поскольку они не претендуют быть абсолютно правильными.  
 
Я права?

 
Конвенционально и личностно - возможноSmiley  
 
Однако на протяжении многих веков - вплоть до XIX - аксиомы геометрии воспринимались именно как абсолютные истины, не требующие доказательств, то есть как бесспорные догматы. Так же воспринималась логика - цемент, с помощью которого возводилось здание математики. И так же воспринималась научная деятельность математиков - как своего рода богослужение, открывание абсолютных божественных истин. И это были века настоящего и плодотворного развития. Будь Ньютон или Лейбниц скептиками (или будь они пуристами) - не было бы математического анализа, мы бы до сих пор чертили на песке окружности и конические сечения. (Мои извинения Ольге Ч. за "бычество", и всем - за попытку "говорить за всех" Smiley )
 
Представление об аксиомах как о чем-то относительном и произвольном - это продукт кризисного ХХ века.
 
V.A. Gonsky: Имхо, аксиома хоть и недоказуема (а в рамках формальной системы без недоказуемых утверждений не обойтись), но _опирается_ на нечто. На "геометрическую интуицию", например.
 
Именно так. Но, насколько я понимаю, интуитивное познание (в таких формах, как вдохновение, озарение, откровение, инсайт etc) свойственны скорее "сверхценностному" мироощущению, нежели рационально-эмпирическому. Интуиция прочно связана с верой - конечно, не обязательно "авраамической". Имея дело лишь с короткими отрезками - даже если они соединяют звезды, - невозможно проверить, что существуют параллельные прямые; в это можно только поверить. Можно только поверить в существование бесконечных множеств. Наконец, можно только поверить, что в области бесконечного действуют законы аристотелевой логики, абстрагированные от конечного эмпирического опыта. Последняя мысль принадлежит отцу "интуиционизма" Лейтцену Эгберту Яну Брауэру (1907). Она была потом воспроизведена Германом Вейлем (это - прославленное имя) в предисловии к рецензии на книгу "Философия Бертрана Рассела":
 
Брауэр открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика питаемая верой в абсолютное, (выделение мое - Bark) превосходящее все возможности человеческого понимания, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на опыте. Согласно его точке зрения и историческим изысканиям, классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств и их подмножеств (слово "конечный" здесь надлежит понимать в его точном значении: элементы такого множества предъявляются явно, один за другим). Тот, кто забывает об этом ограниченном происхождении, принимает затем логику за нечто, стоящее над всей математикой и первичное по отношению к ней, и, наконец, без всякого основания применяет ее к математике бесконечных множеств. В этом - падение и первородный грех теории множеств, за который она справедливо наказана антиномиями. Удивительно не то, что такие противоречия возникли, а то, что они проявились на столь поздней стадии игры!
 
И я еще с удовольствием скажу, что то же сомнение в правомочности абстрагирования нашего конечного опыта в бесконечность было в свое время переоткрыто на листе Forum-T Ольгой Б. (Ч.) - которая навряд ли читала Брауэра и Вейля - но гордые математики листа не обратили на эту незаурядную мысль никакого внимания Smiley (А спорили мы тогда о том же пресловутом Пятом Постулате - но применительно к дуализму Арда/Арта)
 
V.A. Gonsky: Догма на эмпирический опыт (по крайней мере, всех индивидуумов) не опирается, догма "имеет право" быть недоказуемой ничем и ничему не соотвовать, кроме самой себя.
 
К сожалению, в этой дискуссии хорошо представлены математики, но, кажется, нет людей, столь же сведущих в теологии.
 
Антрекот: Есть еще одно существенное различие. Если вдруг окажется, что некая аксиома полностью или частично неверна (нету газу теплороду! (с)), ничего особенного не произойдет.
 
Антрекот, аксиома не может быть верна или неверна. Она может противоречить другим аксиомам системы или нет. Или же она может оказаться выводимой из них, то есть теоремой. Это современная точка зрения, но, повторю, вплоть до ХIХ века она никому и в голову не приходила; а когда пришла - в математике разразился кризис, который продолжается до сих пор.
 
Систему Птолемея в качестве контрпримера я не приму. "Геоцетрическое" предположение - это опять-таки естественно-научная гипотеза, а не аксиома математики.
 
А вот догма неприкосновенна.
 
Да, для тех, кто исповедует соответствующее вероучение. Ну и что? В соответствующем смысле и аксиомы неприкосновенны. Пятый Постулат неприкосновенен в евклидовой геометрии, а она необходима математике независимо от того, искривлен обитаемый мир или нет. Потому что, как выяснилось, роль (евклидовой) геометрии не только - и не столько - в том, чтобы моделировать реальный трехмерный мир; будучи обобщена на бесконечные гильбертовы пространства, она легла в основу, например, квантовой механики. И она же, в инфинитезимальном качестве, совершенно необходима всему математическому анализу.
 
Отличие аксиом математики от гипотез естественных наук как раз в том, что они "неприкосновенны" - пока не установлена их противоречивость другим аксиомам. Гипотеза о теплороде осталась лишь в истории науки, как и система Птолемея; но Пятый Постулат прекрасно сохранился; евклидову геометрию никто не отменил, хотя ее роль изменилась. Она перестала быть точной моделью реального мира, но, повторю, арифметизировавшись, стала необходимым математическим инструментом.
 
И, с другой стороны, так ли уж неприкосновенны догматы христианских церквей? Для христианина неприкосновенны Евангелия; но догмата о Троице в них нет; он был разработан отцами церкви и утвержден на Вселенском соборе; в принципе, очередной Собор может догмат изменить. Разве не так произошло с догматом filioque? мне пришла в голову забавная параллель: католицизм и православие - с одной стороны, и геометрии Лобачевского и Евклида - с другой. Причем в роли Католика - ЛобачевскийSmiley Продолжая аналогию, можно уподобить ислам - проективной геометрии: нет бога кроме Бога, и любые две прямые пересекаютсяSmiley Протестанты - это, конечно, Риман. Геометрий вдруг стало много. Забавно. Что же сопоставить вере Авраама? - топологию? Smiley
 
Естественно-научная гипотеза может оказаться устаревшей или даже ошибочной, но не аксиома. И вот я думаю, что математические аксиомы гораздо более похожи на церковные догматы, чем на физические гипотезы - тем, что они не "отменяются" и не заменяются другими, более совершенными. Вероучения дробятся, избирая разные системы догматов, подобно тому, как разветвляются математические теории - продолжая существовать, сосуществуя.
 
Ан-чан: И догма и аксиома - недоказуемые утверждения.  
 
Догма - аксиома, которая настолько сама собой разумеется, что и говорить об этом нечего. Более того, не только для тебя, но и для соседа Васи.

 
Ага. Догмат о Троице, например Smiley Он не совсем самоочевиден, так ведь, Аня? И если сосед Вася безверующий или инаковерующий, для него эта догма необязательна. Разве нельзя сказать, что в определенном смысле догма - это "аксиома вероучения"? Разобравшись со своими геометриями, математики усвоили определенную "веротерпимость", которой раньше не было в помине; но разве аналогичный процесс не наблюдается во взаимоотношениях между религиями и конфессиями?
 
Аксиома же - недоказуемое утверждение, которое оговаривается перед началом рассуждений. При этом подчеркивается, что рассуждения правомерны только в рамках данной аксиоматики.
 
Но так ведь и c догматами - я уже говорил, отвечая Антрекоту.  
 
Например, в рамках эвклидовой геометрии через точку на плоскости можно провести не более одной линии, не пересекающей данную прямую. Это утверждение, хотя и базируется на здравом смысле, на самом деле недоказуемо. Лобачевский построил альтернативную геометрию, взяв за аксиому утверждение, что таких линий больше одной.
 
Здравый смысл нас подводит, как только мы приближаемся к бесконечности. Греки, кстати, и старались к ней не подходить. Евклид не говорил, что простых чисел бесконечно много, хотя это и доказал. Но формулировка была у него примерно такая: сколько ни взять простих чисел, а найдется еще одно. Так же он сформулировал и Пятый Постулат: "если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых". Это - потенциальная бесконечность, более безобидная. Но сама-то прямая - это явная, актуальная, зубастая бесконечность. Не только потому, что она простирается бесконечно, но и потому что она континуальна. Греки не испугались ее бесконечной протяженности, но очень опасались континуальности. (Мне кажется, Eltekke под "непрерывным множеством точек" имел(а) в виду именно континуум)
 
Господа математики, если что наврала - поправляйте.
 
СтараемсяSmiley
 
Владимир: Ан-чан, там еще веселее было. Все пытались "сомнительную" Пятую Аксиому вывести из остальных, а он предложил доказать от противного, привести к противоречию предположением что она не верна. А, ко всеобщему уживлению, система оказалась живучейSmiley
 
Оба вы не совсем правыWink
 
Там целая компания веселилась, и Лобачевский (с Бойяи, нужно быть справедливыми) пришли последними Smiley Это Джироламо Саккери, профессор университета в Павии (и, между прочим, иезуит) заменил Пятый Постулат "аксиомой Лобачевского" и напридумывал множество теорем - по существу развивая "геометрию Лобачевского". Он искал противоречие - и ему помстилось, что нашел. И он написал книгу "Евклид, очищенный от всяких пятен" (!). Потом аналогичную работу проделал Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) - но уже сознавая, что может существовать несколько непротиворечивых геометрий.
 
Все, по существу, было сделано, и задолго до Гаусса, Лобачевского и Бойяи. Кроме одного: отречения от веры в то, что именно евклидова геометрия избрана Творцом для нашего лучшего из миров.
 
Карл Фридрих Гаусс еще дальше продвинулся - то, что мы называем "геометрией Лобачевского" он назвал "астральной геометрией"; дело в том, что в ней чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов. Злоупотребляя своим служебным положениемSmiley, Гаусс производил геодезические измерения, определяя сумму углов треугольника, образованного горными вершинами Брокен, Хоэхаген и Инзельберг. Получилось у него 180 градусов и 15 секунд Cheesy А он надеялся, будет меньше 180-тиSmiley И, убоявшись "воплей беотийцев", Гаусс не стал публиковать свои результаты, ограничившись приватной перепиской с коллегами. Осмелились молодой офицер венгр Янош Бойяи (1833) и ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1829). Первый восторженно поделился своим открытием с Гауссом, сокурсником своего отца, Фаркаша Бойяи, и великий мэтр похвалил начинающего математика, добродушно заметив, что он и сам все это уже десять лет назад сделал. После такой похвалы Янош чуть не застрелился, и у него навсегда испортился характер.
 
Статский советник Лобаческий был, наверное, более уравновешен, но и он встретил, мягко говоря, непонимание коллег и мыслящей общественности. Он ведь так же надеялся, что его геометрия - это геометрия реального мира, а не только плод его воображения. Математики еще сомневались, еще не хотели верить, что их наука - это не расшифрованные ими замыслы Творца, а только игра по ими же придуманным правилам. Передовая кантиански-настроенная общественность вообще плевалась - стоит почитать самоуверенно-наглые (в этой, по крайней мере, части) "Вилюйские письма" недоучки Николая Чернышевского - к нему очень прислушивались российские студенты.
 
Coup de Grace вере в Пятый Постулат нанес Эудженио Бельтрами - предложив простую ("поймет не только гоблин, но даже дунадан") модель геометрии Лобачевского на обычной евклидовой плоскости - и доказав тем самым уже неопровержимо, что неевклидова геометрия не более противоречива, нежели евклидова. Другие модели потом предложили Анри Пуанкаре и Феликс Клейн.
 
Беда не приходит однаSmiley Именно, пришел Георг Кантор со своими кардинальными числами, от которых моментально развелись антиномии (а ведь предупреждал старик Зенон! Smiley ) Потом пришел Эрнст Цермело со своей аксиомой выбора, породившей целый зверинец математической нежити. А потом пришел Курт Гедель: "ни одна система аксиом не охватывает всех истин, содержащихся в любой математической структуре". А Леопольд Левенгейм и Торальф Сколем (1933) сочувственно добавили: "но зато каждая система аксиом включает больше, чем проедполагалось". То есть допускает неизоморфные модели. К слову, и "гипотеза континуума" - заноза, постоянно напоминающая, как мы плохо себе представляем, что такое родная каждому математику вещественная прямая.
 
Морис Клайн ("Математика. Утрата определенности" ("Мир", 1984)) комментирует это дело в таких выражениях:  
 
"Кого боги вздумают погубить, того они прежде всего лишают разума. Возможно, боги сочли, что после работ Геделя, Коэна, Левенгейма и Сколема математикам еще удалось сохранить остатки разума, - и подстроили новую ловушку, чтобы довести тех до полного безумия".  
 
Речь идет о "гипервещественных числах" и "нестандартном анализе"...
 
"Доктор, а может, меня в реанимацию?..." Математика, которую считали прочно укорененным дубом, стала похожа на орхидею с пышными цветами, но без корней.
 
Сейчас, как я понимаю, видны три тенденции. Некоторые школы, занимающиеся, например, задачами математической фмзики, сосредоточились на вычислительных экспериментах, пренебрегая истинно-математическим объяснением своих результатов (так, Владимир? В.И. Ю-ч в беседе со мной отмечал такую тенденцию). Отказавшись уже от попыток обосновать, например, "принцип монотонной потери устойчивости" для течения Куэтта между цилиндрами. Другие, "чистые", погрязли в "тоположестве" (этот чудный термин я слышал в 74-м году от А.Я. Повзнера) - стоит почитать язвительные высказывания В.И. Арнольда на этот счет. Но есть и третье направление, представителем которого является (IMHO) сам Владимир Игоревич Арнольд. Как я понимаю, оно характеризуется верой в то, что живая математика действительно отражает и воспроизводит реальный мир, и сама некоторым непостижимым образом реальна. И сомнительные аксиомы ее оснований, и ставшая шаткой логика важны, но, в общем, вторичны. Я думаю, это возврат к горделивой и смиренной вере XVIII столетия. В Господа Бога, который изощрен, но не злонамерен Smiley
 
[Виктор И. Юдович (письмо к Ю. Барковскому от 24.10.2003 Smiley ): Кто это Вам сказал, что наша кафедра так прагматична, что ей нужны только приложения? Они чистой математике нужны много больше - чтобы понимать, что интересно, а что нет. Замыслы Господа Бога куда интереснее разгадывать, чем рассуждать обо всех возможных мирах.
 
Позволю себе еще несколько цитат - в подтверждение того, что не мы первые озадачились этими проблемамиSmiley Вполне себе получается разговорSmiley Все участники - компетентнын людиSmiley Меня несколько раз упрекали в пристрастии к цитированию; но ведь Кэтрин Кинн совершенно справедливо говорит: "подпись многое значит" Smiley
 
Шарль Эрмит: Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум, - точно так же существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависят от нас, они оба творение Господа Бога и различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики - с другой.
 
Анри Пуанкаре: Но та гармония, которую человеческий разум полагает открыть в природе, существует ли она вне человеческого разума? Без сомнения - нет; невозможна реальность, которая была бы полностью независима от ума, постигающего ее, видящего, чувствующего ее. Такой внешний мир, даже если бы он и существовал, никогда не был бы нам доступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что общо нескольким мыслящим существам и могло бы быть общо всем. Этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся математическими законами.
 
Альберт Эйнштейн: Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций в физике. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я разделяю веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.
 
Шарль Эрмит: Я убежден в том, что числа и функции Анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности,а мы обнаруживаем или открываем или исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи.
 
Герман Вейль: Наука погибла бы без трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, содной стороны, и образным мышлением - с другой.
 
Юджин Пол Вигнер: Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу
[нынче просто не модно благодарить Бога, но что совой об пень, что пнем по сове - Bark] и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им.
 
Блез Паскаль: ...ибо что такое человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, среднее между всем и ничем. Он не в силах даже приблизиться к пониманию этих крайностей - конца мироздания и его начала, неприступных, неприступных, скрытых от людского взора непроницаемой тайной, и равно не может постичь небытие, из которого возник, и бесконечность, в которой растворяется.

 
Вавилоняне, если это - не исповедания веры, тогда что? Эта вера отнюдь не сводится к рабскому признанию набора догм - так же, как, наверное, и религиозная вера. Я же говорил вам: вавилонский мир без сверхценной компоненты скучен и неполонSmiley
 
И еще цитата - мы все узнаем автора и источникSmiley
 
Таким был мир для Валар и майяр, когда они не смотрели глазами плоти. Он состоял из ничего. Он висел ни на чем...
 
...И все-таки висел. Лежал словно бы в твердых и теплых руках, которые не давали движущемуся, живому "ничто" обратиться в не-сущее, мертвое "ничто".

 
Это удивительно применимо к современной математике. Применительно к ней, мне трудно представить, что "твердые и теплые руки" - это лишь рационально применяемый эмпирический опыт. Какой эмпирический опыт мог подсказать, скажем, Стефану Банаху его "теорему об открытом отображении"? Только божественная интуиция - чувство "гармонии", которое допустимо считать "голосом Бога".
 
V.A.Gonsky У Лобачевского они тоже не пересекаются, начал он плясать от другого. Но в общем, согласен, аксиома формулируется для чего-то, фактически - для дедуктивного рассуждения. Если имеющимся фактам рассуждение противоречит, аксиома пересмаривается.
 
Например?
 
_________________________________
 
Шехерезада прерывает дозволенные модераторами речи - мне нужно идти на паруSmiley
« Изменён в : 10/29/04 в 17:20:17 пользователем: Bark » Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: В жанре дзуйхицу :)
« Ответить #54 В: 10/29/04 в 16:27:31 »
Цитировать » Править

on 10/29/04 в 14:34:39, Bark wrote:
...насколько я понимаю, интуитивное познание (в таких формах, как вдохновение, озарение, откровение, инсайт etc) свойственны скорее "сверхценностному" мироощущению, нежели рационально-эмпирическому. Интуиция прочно связана с верой - конечно, не обязательно "авраамической". Имея дело лишь с короткими отрезками - даже если они соединяют звезды, - невозможно проверить, что существуют параллельные прямые; в это можно только поверить. Можно только поверить в существование бесконечных множеств. Наконец, можно только поверить, что в области бесконечного действуют законы аристотелевой логики, абстрагированные от конечного эмпирического опыта.

Кроме "проверить" и "поверить" существует и третья альтернатива - постулировать. Ведь, по сути дела, математика именно этим и занимается, она постулирует законы некоторого мира (а ля платоновский мир идеальных сущностей, постижимых интеллектом). Затем встает вопрос, работают ли эти законы, будучи применены к законам мира реального. Сплошь и рядом оказывается, что да, и совершенно неважно, что мы можем и не найти в реальном мире точного соответствия какой-нибудь абстрактной математической идее, вроде мнимого числа.
Quote:

V.A. Gonsky: Догма на эмпирический опыт (по крайней мере, всех индивидуумов) не опирается, догма "имеет право" быть недоказуемой ничем и ничему не соотвовать, кроме самой себя.
 
К сожалению, в этой дискуссии хорошо представлены математики, но, кажется, нет людей, столь же сведущих в теологии.

Это намек на то, что мое утверждение вопиюще противоречит теологии? Smiley Если да, то я прошу разъяснений в чем именно.
Quote:

V.A.Gonsky У Лобачевского они тоже не пересекаются, начал он плясать от другого. Но в общем, согласен, аксиома формулируется для чего-то, фактически - для дедуктивного рассуждения. Если имеющимся фактам рассуждение противоречит, аксиома пересмаривается.
 
Например?

Если говорить о том, _для чего_ используются аксиомы (а я первоначально говорил именно об этом), то в качестве такого примера можно привести специальную теорию относительности. Следствия из аксиом ньютоновской механики (а это, конечно, математическая теория) перестали удовлетворять требуемым критериям точности в тех масштабах, на которых их потребовалось рассматривать, и они были соответствующим образом скорректированы.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: В жанре дзуйхицу :)
« Ответить #55 В: 10/29/04 в 17:16:27 »
Цитировать » Править

on 10/29/04 в 16:27:31, V.A.Gonsky wrote:
Это намек на то, что мое утверждение вопиюще противоречит теологии? Smiley Если да, то я прошу разъяснений в чем именно.

 
Нет. Если бы я так считал, я бы объяснил явно.  
 
Я сказал только то, что сказал: среди нас присутствуют люди с математическим образованием и профессиональные математики. Есть люди, представляющие естественные и гуманитарные науки. Но я не вижу в этой дискуссии людей с богословским образованием. Я не очень себе хорошо представляю происхождение, место и роль догматов в религиозном учении, и был бы благодарен за разьяснения специалисту.
 
На остальное постараюсь ответить к завтрашнему дню.
 
 
Зарегистрирован
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: Догма и аксиома
« Ответить #56 В: 10/29/04 в 17:24:49 »
Цитировать » Править

Владимир: А аксиомы для меня не религия а так, лишняя коровенка у Матроскина: есть непротиворечивая система - и ладушки, потом пригодится Grin
 
Ну вот видишь?  Smiley А меня кашей не корми, а дай поговорить вот именно о таких вещах Roll Eyes Embarassed
 
PS Обнаружил, что не внес Бенедикта во френды, а сейчас не вспомню его никнейм - он с цифрамиSmiley
 
Не надоело ли мое многословие участникам обсуждения и модераторам? Я еще не весь тред прошел Cheesy 8)
« Изменён в : 10/29/04 в 17:31:20 пользователем: Bark » Зарегистрирован
Бенни
Administrator
*****


б. Бенедикт

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2542
Re: Догма и аксиома
« Ответить #57 В: 10/30/04 в 01:26:49 »
Цитировать » Править

Барк, огромное спасибо за лекции! С нетерпением жду продолжения! Smiley
 
Ссылка на дискуссию в моем ЖЖ: http://www.livejournal.com/users/benni72/15712.html
 
А с профессиональными теологами здесь, боюсь, туговато (Юрий Носовский, может быть?) У меня, правда, есть учебник по догматическому богословию, но в Москве. Что я оттуда и из другой подобной литературы запомнил: у католиков и православных догматы формулируются на основе Писания и Предания и не должны противоречить ранее принятым; отменить догмат нельзя (если только собор, принявший его, не признан "разбойничьим", что бывало). А если отколовшаяся часть какой-нибудь Церкви принимает новые догматы, те, от кого они отделились, считают их как минимум серьезно заблуждающимися (пример - отношение католиков к протестантскому учению о пресуществлении, да и православных - к филиокве, непогрешимости Папы и т.д.) Есть, конечно, либеральные верующие и даже богословы, считающие, что "все по-своему правы" или "неизвестно и неважно, кто прав" в догматических спорах, но, по-моему, в традиционных Церквах они погоды не делают.  
 
Что до математики, Лакатос писал, что сам Евклид считал свои аксиомы спорными допущениями, это уже потом они были "догматизированы". Об эмпирическом происхождении математических понятий есть неплохая книжка Джусти (мой экземпляр на итальянском, не знаю, есть ли переводы на другие языки). Да и в приведенных цитатах Пуанкаре высказывает, имхо, вполне вавилонскую точку зрения. Будет время - могу попытаться разобрать подробнее.
Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #58 В: 10/30/04 в 13:28:57 »
Цитировать » Править

Quote:
Вавилоняне, если это - не исповедания веры, тогда что? Эта вера отнюдь не сводится к рабскому признанию набора догм - так же, как, наверное, и религиозная вера. Я же говорил вам: вавилонский мир без сверхценной компоненты скучен и неполон

Не совсем. Главным образом, это обсуждение "реальности" - что под ней понимать. Все, за исключением Пуанкаре (который говорит о том, что мы постигаем то... что мы постигаем - трюизм) и Паскаля (который проповедует неоспоримый агностицизм) говорят о том, что возможно умственное постижение законов некоторого платоновского мира идей, который чудесным образом соответствует кое-чему в реальном мире. Далее, ставится вопрос: а реален ли этот мир математических идей? Имхо, ответ зависит только от определения "реальности". Если реальностью называть то, что мы постигаем, то реален, конечно же. Если реальностью называть то, что "объективно", лежит вне нас, то нереален, поскольку представляет собой мысленный конструкт (интерсубъективный Smiley).
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Бенни
Administrator
*****


б. Бенедикт

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2542
Re: Догма и аксиома
« Ответить #59 В: 10/30/04 в 22:46:21 »
Цитировать » Править

on 10/25/04 в 19:57:29, V.A.Gonsky wrote:

Натуральные числа натуральны и в Африке, а вот добро повсюду разное. Вы, наверное, возразите, что оно тоже одинаковое, т.к. человек, условно говоря, применяет золотое правило этики к "своим". На это я возражу, что понятие "свои" повсюду разное итд.
С натуральными числами, вроде бы, такой неразберихи нет.
Что заставляет меня думать о том, что человеку изначально присуща возможность постигать эту абстрактную концепцию, что называется, "по железу". Как - непонятно. Понятно, что присуща. Это и есть интерсубъективность. Вроде интерсубъективности цветового зрения итп, хотя и с ним не так все просто, как с натуральными числами.

 
Кажется, понял. По-моему, разброс представлений о НЧ – от счета упомянутых племен до современных математических теорий - не меньше, чем в случае добра, и больше, чем с цветовым зрением.
 
Quote:
Наверное, все же второе множество шире, т.к. никто не мешает нам включить во вспомогательную программу (например - универсальную МТ) механизм простого запуска рассматриваемой программы. Следовательно, любое истинное утверждение доказуемо (в Вашей терминологии). Очевидное расхождение с теорией.

 
Как я понимаю, запускать как раз нельзя. Впрочем, могу ошибаться.
Зарегистрирован
Страниц: 1 2 3 4 5 6  Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать

« Предыдущая тема | Следующая тема »

Удел Могултая
YaBB © 2000-2001,
Xnull. All Rights Reserved.