Сайт Архив WWW-Dosk
Удел МогултаяДобро пожаловать, Гость. Пожалуйста, выберите:
Вход || Регистрация.
07/23/19 в 14:33:56

Главная » Новое » Помощь » Поиск » Участники » Вход
Удел Могултая « Догма и аксиома »


   Удел Могултая
   Вавилонская Башня
   Вавилонская Блудница и ее обычай
   Догма и аксиома
« Предыдущая тема | Следующая тема »
Страниц: 1 ... 3 4 5 6  Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать
   Автор  Тема: Догма и аксиома  (Прочитано 14932 раз)
Guest is IGNORING messages from: .
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #60 В: 10/31/04 в 22:32:27 »
Цитировать » Править

Прошу у всех огромное прощение за задержки с ответами/пропускание чего-то в свой адрес, все-таки сложновато мне сейчас все на форуме отслеживать даже в тех темах, где я участвуюSmiley Так что если что - большая просьба не обижаться, а ткнуть мне пальцемSmiley
 
Барк, В.И., как всегда безусловно правSmiley Есть такая партия, я бы сказал - партия экспериментальщиков. Мне их сильно не с руки ругать, т.к. я всегда место в лагере их оппонентов занимал, а их самих тут нет, отстаивать свою правоту. Если в двух ловах, позиция такая: "Мы знаем, что в природе реализуется такой-то тип течения, давайте определим его параметры". Мне это слышать было, естественно, не очень радостно.
 
Для четкости, мне и подход В.И. кажется несколько схоластичным, так сказать тщательное исследование свойств асимптотики, при том что можно, пусть и менее строго (но не менее строго, чем, к примеру, при экспериментах!) судить о поведении характеристик во всем пространстве.
 
Собственно, я считал и считаю, что численный эксперимент - разновидность эксперимента физического, со своими дополнительными плюшками: возможностью вывести значение практически любой переменной практически в любой точкеSmiley Ну и минус, соотвественно: схему эксперимента/модель изменить куда сложнее, чем в аэродинамической трубе Grin
 
В общем, пристрастный я, куда деваться Wink
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #61 В: 11/02/04 в 10:12:16 »
Цитировать » Править

Между прочим, я вспомнил пример из обучения школьников арифметике, который даже не на религиозную догму тянет, а на первобытное табу.
Вот он (держитесь за стул): На ноль делить НЕЛЬЗЯ! Cheesy
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #62 В: 11/02/04 в 10:49:06 »
Цитировать » Править

on 10/30/04 в 22:46:21, Бенедикт wrote:

Кажется, понял. По-моему, разброс представлений о НЧ – от счета упомянутых племен до современных математических теорий - не меньше, чем в случае добра, и больше, чем с цветовым зрением.

Разве? А по-моему, нет. НЧ в том племени все те же, просто за недостатком развития "железа" они не идут дальше двух. То же самое, кажется, происходит с воронами. Но мы ведь не говорим о том, что единый принцип цветового зрения не свойственен человечеству как виду только на основании того, что существует явление дальтонизма.
Quote:

Как я понимаю, запускать как раз нельзя. Впрочем, могу ошибаться.

Тоггда получается парадоксальная ситуация, когда ни одно истинное утверждение не является доказуемым. Если я все правильно понял.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: Догма и аксиома
« Ответить #63 В: 11/02/04 в 19:34:10 »
Цитировать » Править

on 10/31/04 в 22:32:27, Vladimir wrote:
Прошу у всех огромное прощение за задержки с ответами/пропускание чего-то в свой адрес, все-таки сложновато мне сейчас все на форуме отслеживать даже в тех темах, где я участвуюSmiley

 
Я тоже... Прошу прощения за молчание из-за нехватки времени.
 
Quote:
Барк, В.И., как всегда безусловно правSmiley Есть такая партия, я бы сказал - партия экспериментальщиков. Мне их сильно не с руки ругать, т.к. я всегда место в лагере их оппонентов занимал, а их самих тут нет, отстаивать свою правоту. Если в двух ловах, позиция такая: "Мы знаем, что в природе реализуется такой-то тип течения, давайте определим его параметры". Мне это слышать было, естественно, не очень радостно.
 
Для четкости, мне и подход В.И. кажется несколько схоластичным, так сказать тщательное исследование свойств асимптотики, при том что можно, пусть и менее строго (но не менее строго, чем, к примеру, при экспериментах!) судить о поведении характеристик во всем пространстве.

 
Не надо обвинять В.И. в схоластике - не позволюSmiley Речь о том, что группе физических явлений должна соответствовать математическая теория, адекватно их интерпретирующая и объясняющая. Речь не о собственно доказательстве того же принципа потери устойчивости - это можно, допустим, сделать, просчитав там, где считается, доказав, что счет достоверен, асимптотически оценив там, где недосчитали. Но кому это нужно? Такие доказательства подтверждают, но не объясняют.
 
Речь не о выборе экспериментального пути (это дело почтенное), а о сознательном отрицании того, что нужна математическая теория.
 
Собственно, я считал и считаю, что численный эксперимент - разновидность эксперимента физического, со своими дополнительными плюшками: возможностью вывести значение практически любой переменной практически в любой точкеSmiley Ну и минус, соотвественно: схему эксперимента/модель изменить куда сложнее, чем в аэродинамической трубе Grin
 
Да. И такие эксперименты вовсю у нас проводятся. Но я - "чистый", я не вычисляю, а пытаюсь доказывать. Между прочим, когда-то я побился об заклад с известным тебе Вадимом К., что за год докажу этот "принцип". На бутылку коньяка. Бутылку я проиграл, но надежды не теряюSmiley
 
Quote:
В общем, пристрастный я, куда деваться Wink

 
Я тожеSmiley
« Изменён в : 11/02/04 в 19:35:26 пользователем: Bark » Зарегистрирован
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Справка - аксиомы Пеано.
« Ответить #64 В: 11/02/04 в 19:44:38 »
Цитировать » Править

Арифметика - аксиомы Пеано.
 
(N - натуральный ряд чисел; x'=x+1 - следующее за x число)
 
1. 1 - это число;
 
2. Если x - число, то x' - число;
 
3. Если x - число, то x' не равно 1;
 
4. Если x и y - числа, и x'=y', то x=y;
 
5. Если 1 принадлежит множеству M, и если из того, что x принадлежит M, следует, что x' принадлежит M, то M содержит все натуральные числа) - аксиома индукции.
 
Система аксиом Пеано категорична - любые две системы, удовлетворяющие этим пяти аксиомам, изоморфны. Но в формальной арифметике эта же система допускает неизоморфные интерпретации. Роль дьявола играет, конечно, аксиома индукции - формальная арифметика сужает ее применение. Притом в зависимости от того, какой ее вариант используется - классический или интуиционистскийSmiley
 
Эти аксиомы независимы (легко). Гедель (1931) доказал, что "финитными" средствами доказать непротиворечивость формальной арифметики нельзя. Генцен (1936) доказал непротиворечивость системы Пеано, использовав трансфинитную индукцию (до ординала E_0). Я здесь не специалист - не знаю, правомерно ли оправдывать финитную индукцию с помощью трансфинитной?
 
А в живой теории чисел - например, в теории простых чисел, - самым циничным образом используется утонченный математический анализSmiley)
« Изменён в : 11/02/04 в 21:41:33 пользователем: Bark » Зарегистрирован
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Справка - аксиомы Гильберта
« Ответить #65 В: 11/02/04 в 19:47:50 »
Цитировать » Править

Геометрия. Аксиомы Гильберта.
 
1. Аксиомы принадлежности.
 
1.1-1.2. Для любых двух различных точек существует (и единственна -1.2) прямая, проходящая через каждую из них.
 
1.3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
 
1.4-1.5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует (и единственна -1.5)  плоскость, проходящая через каждую из этих точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка.
 
1.6. Если две точки лежат в плоскости, то и прямая, проходящая через них, лежит в этой плоскости.
 
1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.
 
1.8. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
 
2. Аксиомы порядка.
 
2.1. Если точка B лежит между точками A и C, то A, B, C - различные точки на одной прямой, и B лежит также между C и A.
 
2.2. Для любых двух точек A и B на прямой AB существует точка C такая, что B лежит между A и C.
 
2.3. Среди любых трех точек на прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
 
2.4. Пусть A, B, C - три точки, не лежащие на одной прямой, и l - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из этих точек. Тогда, если прямая l пересекает отрезок AB, то она пересекает также или отрезок AC, или отрезок BC (аксиома Паппа).
 
3. Аксиомы конгруэнтности. (отношение конгруэнтности обозначается ==)
 
3.1. Если даны отрезок AB и луч OX, то на луче OX существует точка B' такая, что AB == OB'.
 
3.2. Если AB == A'B' и A'B' == A"B", то AB == A"B".
 
3.3. Пусть AB и BC - два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а A'B' и B'C' - два отрезка на той же или другой прямой, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если AB == A'B' и BC == B'C', то AC == A'C'.
 
3.4. Пусть даны угол AOB, луч O'A' и полуплоскость П', ограниченная прямой O'A'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч O'B' такой, что угол AOB == углу A'B'C'. Кроме того, каждый угол конгруэнтен сам себе.
 
3.5. Если для двух треугольников ABC и A'B'C' имеем AB == A'B', AC == A'C', угол BAC == углу B'A'C', то угол ABC == углу A'B'C'.
 
Аксиомы непрерывности.
 
4.1. Пусть AB и CD - два отрезка. Тогда на прямой AB существует конечное множество точек A1, A2,... An таких, что точка A1 лежит между точками A и A2, A2 - между A1 и A3 и т.д., причем отрезки AA1, A1A2,... конгруэнтны отрезку CD и B лежит между A и An (аксиома Архимеда)
 
4.2. Пусть на прямой дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, A2B2, ... , удовлетворяющая двум условиям: каждый последующий отрезок есть часть предыдущего; для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число n такое, что AnBn < СD. Тогда на этой прямой существует точка, принадлежащая каждому из отрезков этой последовательности (аксиома Кантора).
 
Аксиома о параллельных.
 
5.1. Пусть даны прямая l и точка A, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой l и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей l.
 
(Цитирую по Математической энциклопедии - статья "Гильберта система аксиом"; см тж.
 
Д. Гильберт, Основания геометрии, 1948;
Н.В. Ефимов, Вычшая геометрия, 1971)
______________________________________
 
Вот оно как. Арифметика имеет 5 аксиом, евклидова (трехмерная) геометрия - 20.
 
Ясно (аксиомы непрерывности), что эта геометрия опирается на арифметику натуральных чисел и содержит в себе арифметику чисел вещественных; здесь Владимир прав.  
 
Четвертая группа аксиом - это именно то, что обходили стороной греки - кроме, пожалуй, великого Архимеда; но он опередил свое время, ему бы к нам... и компьютер датьSmiley Варвары все-таки эти римляне. История на Патриарших: Архимед, живя в отдаленных Сиракузах, отсылал свои статьи в центр, в Александрию. А тамошние деятели повадились воровать его результаты, придумывая им свои доказательства. Архимед, обнаружив это, подкинул им пару заведомо ложных теорем...
 
Эта система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика.
Зарегистрирован
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Справка - аксиомы Цермело-Френкеля.
« Ответить #66 В: 11/02/04 в 19:56:30 »
Цитировать » Править

Теория множеств. Аксиомы Цермело-Френкеля.
 
Их, по современным правилам, следует излагать на языке формальной логики - то есть формулами, понятными лишь посвященным.
 
Сначала о "наивной" теории множеств.
 
Две "аксиомы" входят в нее:
 
1. (аксиома объемности): если два множества содержат одни и те же элементы, то они совпадают;
 
2. (аксиома свертывания): если A(x) - высказывание об x, не ссылающееся на X, то существует множество X, содержащее те и только те x, для которых справедливо A.
 
Отсюда можно логически вывести, что x содержится в x тогда и только тогда, когда x не содержится в x.
 
Аксиому свертывания необходимо ограничить - она ведет к антиномиям.
 
Первым это сделал Эрнст Цермело (1908). Его система такова.
 
Z1. Аксиома объемности 1.
 
Z2. Аксиома пары: существует множество-пара {x,y}.
 
Z3. Аксиома суммы: существует объединение множества множеств;
 
Z4. Аксиома степени: существует множество подмножеств данного множества;
 
Z5. Аксиома выделения: существует подмножество, состоящее из тех элементов x, для которых справедливо высказывание A(x).
 
Z6. Аксиома бесконечности: существует бесконечное множество.
 
Z7. Аксиома выбора (см. ниже).
 
К этим аксиомам Цермело Френкель добавил еще одну. СложнуюSmiley :
 
ZF8. Аксиома подстановки: cуществует множество X, состоящее из таких x, для которых существует
у из множества Y, такое, что справедливо высказывание A(x,y). А говоря проще,
$$
\exists Х \forall x (x \in X \iff \exists y (y \in Y \land x=\iota tA(t,y)))
$$
 
Для современной математики эта система достаточна.
 
Роль искусителя отводится аксиоме выбора Z7. Она, наглядно, утверждает, что в каждом избирательном округе можно выбрать по одному депутату и составить из них Думу. Это да, если округов конечное множество. Хотя и трудно. Ну, если счетное, - поморщившись, согласимся. А если, скажем, континуум? Никакая избирательная комиссия ведь не управится. Вот и выходит чистая вера в Того, кто придет и выберет - сделает то, что смертные сделать конструктивно в принципе не могут. Могут только поверить.
 
Курт Гедель (1939) доказал, что аксиому выбора нельзя опровергнуть на основании остальных аксиом ZF.
 
Поль Коэн (1963) доказал, что аксиому выбора нельзя также и вывести из остальных аксиом ZF.
 
Quod errate demonstrandum.
 
Знаете, что это означает, вавилоняне? Объявлять веру излишней - это "назло кондуктору пешком пойду" Smiley
Зарегистрирован
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: Догма и аксиома
« Ответить #67 В: 11/02/04 в 20:27:04 »
Цитировать » Править

Модели плоскости Лобачевского.
 
Модель Пуанкаре.
 
1. Назовем "плоскостью Лобачевского" П полуплоскость обычной евклидовой плоскости - без граничной прямой l.
 
2. Назовем "прямыми" в П полуокружности с центрами на l, а также полупрямые, перпендикулярные к l.
 
Все. Выполняются все аксиомы и постулаты Евклида, кроме Пятого: если дана "прямая" и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести бесконечное множество "прямых", не пересекающихся с данной "прямой" - это совершенно очевидно. "Крайние прямые" - касающиеся данной в "бесконечно удаленных точках" на l - это "параллельные". Их всегда две.
 
Модель Бельтрами.
 
Здесь в качестве П берется круг (без граничной окружности l); "прямые" - это дуги окружностей, пересекающихся с l перпендикулярно, а также диаметры l. Результат тот жеWink Кстати сказать, мне было жаль, что замкнутая - таким же, как мне нравится думать, образом - модель Арты исчезла в новой редакции ЧКАSmiley
 
Таков, в конечном счете, итог более чем двухтысячелетних усилий. До этого с легкостью додумался бы и сам Евклид - если бы понимал свои аксиомы и постулаты так, как мы их понимаем сейчас.
 
Теорема Гильберта и псевдосфера.
 
В третьих, можно пробовать реализовать планиметрию Лобачевского как геометрию на поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны в евклидовом трехмерном пространстве - отрезками "прямых" будут служить геодезические, то есть кривые минимальной длины, соединяющие две заданные точки. Примером такой поверхности служит псевдосфера - но она имеет "особую кривую" - негладкое ребро. Как доказал Гильберт, плоскость Лобачевского не может быть вся целиком реализована как гладкая поверхность в R_3.
 
Не удержусь еще от удовольствия рассказать, что такое псевдосфера. Но предварительно - о кривой, называемой "трактриса".
 
На прямолинейном Берегу моря стоит Человек. И держит на Поводке ЩенкаSmiley В начальный момент Поводок (нерастяжимый, что немаловажно) натянут перпендикулярно к Берегу. Потом Человек бредет вдоль Берега - и тащит за собой Щенка. Тот упиравется всеми четырьмя лапами - и оставляет на песке След. Это и есть трактриса - от латинского корня "тащить". Точнее - ее половинка; нужно приставить другую, которая получилась бы, если бы (без "бычества" мне не обойтисьWink ) Человек пошел бы в противоположном направлении.
 
Теперь вращаем трактрису вокруг Берега. Она опишет поверхность вращения, имеющую вид двух воронок, составленных своими раструбами. Это и есть псевдосфера. Самое ее интересное свойство: если на ней вырезать "заплату", то эту заплату можно будет приложить к любому другому участку псевдосферы - и она приляжет всеми своими точками. Таким же свойством обладают сфера и плоскость; только для сферы и плоскости оно очевидно, а для псевдосферы - не оченьSmiley Это и есть свойство постоянства гауссовой кривизны - положительной для сферы, нулевой для плоскости и отрицательной для псевдосферы.
 
Но сфера и плоскость везде гладкие, а на псевдосфере - острое ребро. Как объяснил Гильберт, здесь никуда не денешьсяSmiley
 
Трактрису впервые исследовал Лейбниц. Только он, конечно, собак не мучил, а возил по столу свои серебряные часы на цепочке: "horologio portatili suae thecae argentae", по его собственным словам. В книге Э. Хайрера, С.Нерсетта и Г.Ваннера "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи" (Мир 1990) на странице 13 воспроизведен оригинальный чертеж Лейбница - показывающий, как основоположники решали подобные задачи.
 
Задача Бюффона.
 
Вот что непонятно никому - и более всего самим математикам. Какое-то мистическое единство, связывающее различные объекты и факты самым неожиданным образом. Какое, казалось бы, дело влекомым по столу карманным часам Лейбница до количества параллельных? Сам Лейбниц ничего такого не подозревал - просто поставил и решил интересную и трудную задачу. Показал язык коллегамSmiley Это уже потом, после Гаусса, появилась псевдосфера, и еще потом стало понятно, что неевклидовы планиметрии можно рассматривать как метрические геометрии на поверхностях (а не на плоскости).
 
Вот другой пример единства мира, которое постигается математикой, но совершенно непонятно вне ее - да и внутри, правду сказать, тоже. На дощатый пол бросается игла, длина которой равна ширине половицы. Какова вероятность того, что игла пересечет щель между половицами? Ответ: 2/Pi, где Pi - отношение длины окружности к ее диаметру. В общем, достаточно простая задача на вычисление "геометрической вероятности", но все же - причем здесь окружность? Сам Бюффон развекался, бросая настоящую иглу на настоящий пол и, таким образом, приближенно вычисляя Pi. Бросал он долгоSmiley
 
 Пример, близкий мне лично. Две замечательные теоремы теории функций - теорема Громмера:
 
J. Grommer, Ganze transzendente Functionen mit lauter reelen Nullstellen, J. Reine Angew. Math. 144 (1914)
 
Ю.C. Барковский, В.И. Юдович, Спектральные свойства одного класса задач на собственные значения, Матем. сб. 114 (156), 3
 
и теорема Шенберга-Айссена-Уитни-Эдрея:
 
I.J. Shoenberg, M. Aissen, A.M. Whitney On the generating functions of totally positive sequences, J. Anal. Math. Jerusalem, 1952-1953, 2
 
A. Edrei, On the generating functions of totally positive sequences, J. Anal. Math. Jerusalem, 1952-1953, 2
 
Ю.С. Барковский, Осцилляционная спектральная задача на прямой, Изв. вузов, Северо-Кавказский регион. сер. Естеств. науки, 2004, cпецвыпуск
 
- эти две теоремы двойственны друг другу совершенно прекрасным и совершенно необъяснимым образом. Притом  внутри математики они относятся к областям, непосредственно не пересекающимся. Но они встретились в своих применениях - как раз там, где мои охотничьи угодьяSmiley Скромно скажу, что сама возможность такого их применения есть в некотором роде открытие 8)
 
PostScriptum
 
Модели Пуанкаре и Бельтрами начали самостоятельную жизнь и очень пришлись по вкусу современной математике - из-за своеобразия группы SL_2 своих движений. Навскидку:
 
В.И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Наука 1978) - гл.I, пар. 5 "Стационарное уравнение Шредингера" (!)
 
П.Д. Лакс, Р.C. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций (Мир 1979) - пар. 4. "Оператор Лапласа-Бельтрами для модулярной группы"
 
Итак, геометрия Лобачевского (планиметрия, по крайней мере) прекрасно служит математике и сейчас - но уже вне какой-либо непосредственной связи с геометрией физического пространства.
 
Ностальгически вспоминаю, как я писал (не для себяSmiley ) дипломную работу "Об изгибаниях поверхностей в пространстве Лобачевского".  Теперь об этом можно рассказатьSmiley Научный руководитель, ныне покойный проф. К.К. Мокрищев после защиты заговорщически шепнул мне: "Я слушал ее, а думал о Вас"Smiley
Зарегистрирован
Mithrilian
Beholder
Живет здесь
*****


Watchrabbit

   
Просмотреть Профиль » WWW »

Сообщений: 1693
Re: Догма и аксиома
« Ответить #68 В: 11/02/04 в 21:06:16 »
Цитировать » Править

Робяты, а вы между собой или для пользы нас-гуманитариев тоже? А то мне хорошо, у меня математик рядом сидит, объясняет, что, вот в аксиомах, приведенных Барком "точка Б между точками А и С..." - это такое определение термина "между" а вовсе не "а что это с Барком вдруг, а как же треугольники" (моя рефлекторная реакция). Кстати, Барк, а зачем тебе в пятой аксиоме Пеано ноль понадобился? Ведь третья аксиома его исключает, нет? Владимир вон плечами пожал...  Tongue
Зарегистрирован

На земле прекрасной нету места
Для недобрых и для забияк! (с) кот Леопольд
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Re: Догма и аксиома
« Ответить #69 В: 11/02/04 в 21:48:02 »
Цитировать » Править

Мит, с нулем - это я просмотрел. Дело в том, что в первоначальной системе Пеано была 1; но потом договорились начинать с нуля. Я уже исправил, спасибо.
 
Между - подразумевается принадлежность одной прямой.
 
Мне казалось, что в такой форме это будет, в общем, понятно и нематематикам. Все-таки, если зашла речь об аксиомах, то вот они какиеSmiley
 
Виноват в том, что, не ответив участникам дискуссии, пою о своем. Но к завтрашнему дню постараюсь ответить.
Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Продолжая занудствовать
« Ответить #70 В: 11/03/04 в 10:22:58 »
Цитировать » Править

on 11/02/04 в 19:47:50, Bark wrote:
Геометрия. Аксиомы Гильберта.
 
Эта система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

Поправка: если непротиворечива арифметика действительных чисел, а не просто арифметика.
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Продолжая занудствовать
« Ответить #71 В: 11/03/04 в 11:37:39 »
Цитировать » Править

on 11/03/04 в 10:22:58, V.A.Gonsky wrote:

Поправка: если непротиворечива арифметика действительных чисел, а не просто арифметика.

 
Непротиворечивость действительных чисел выводится из непротиворечивости натуральных. См., например, Фихтенгольца, если мне Память не изменяетSmiley
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #72 В: 11/03/04 в 11:45:17 »
Цитировать » Править

В самом деле? Ну что ж, тогда поправка снимается. Smiley
Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Vladimir
Administrator
*****




   
Просмотреть Профиль » email

Сообщений: 3880
Re: Догма и аксиома
« Ответить #73 В: 11/03/04 в 13:30:31 »
Цитировать » Править

on 11/02/04 в 19:34:10, Bark wrote:

Не надо обвинять В.И. в схоластике - не позволюSmiley  

 
Барк, ну сам посуди: для уравнений Навье-Стокса в R3 вообще не доказана единственность решения, то есть нельзя применять никакие теоремы, на второй лекции по уравнениям в частных производныхSmiley Как после этого можно всерьез исследовать отдельные особенности решений в прекрасном далеке? Т.е., понятно как - с точки зрения физики дела, но по математике-то все плохо и проблематично.
 
Quote:
Речь о том, что группе физических явлений должна соответствовать математическая теория, адекватно их интерпретирующая и объясняющая. Речь не о собственно доказательстве того же принципа потери устойчивости - это можно, допустим, сделать, просчитав там, где считается, доказав, что счет достоверен, асимптотически оценив там, где недосчитали. Но кому это нужно? Такие доказательства подтверждают, но не объясняют.

 
Это так, согласен. Если брать ту же задачу потери устойчивости, то лобовой счет ИМНО - худшее из возможных решений, 99.9% сил придется тратить на то, чтобы неизбежные недостатки алгоритма не разрушили систему раньше "правильного" срока (или схемы защиты от отих помех не забили реальную потерю устойчивостиWink )
 
Quote:
Речь не о выборе экспериментального пути (это дело почтенное), а о сознательном отрицании того, что нужна математическая теория.

 
Ну, этих я бы вообще предложил оставить без сладкогоSmiley
 
Помнится, кто-то из физиков-теоретиков указывал, что померить удельное сопротивление медной проволоки в тысячу раз проще и быстрее, чем его вычислить - но ведь приходится ведьSmiley
 
Quote:
Да. И такие эксперименты вовсю у нас проводятся. Но я - "чистый", я не вычисляю, а пытаюсь доказывать. Между прочим, когда-то я побился об заклад с известным тебе Вадимом К., что за год докажу этот "принцип". На бутылку коньяка. Бутылку я проиграл, но надежды не теряюSmiley

 
Удачи! Grin
Зарегистрирован

Зря сирот не обижай - Береги патроны. (c) Успенский
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Ответы
« Ответить #74 В: 11/03/04 в 15:35:57 »
Цитировать » Править

Ответы собеседникам и оппонентам - в первую очередь г-ну V.A.Gonsky.
 
(Предварительно хочу поблагодарить Ольгу Чигиринскую, которая в своем ЖЖ дала подробные разъяснения о происхождении и роли христианских догматов. Бенедикт, я составил тебе пространный ответ еще позавчера - о позиции Пуанкаре и об эмпирическом происхождении математических понятий, - но он был совершенно изуродован перекодировщиком. Я постараюсь его восстановить, потому что там речь о вещах, которые мне кажутся глубокомысленными).
________________________
 
Bark (to V.A. Gonsky): вы действительно считаете, что 'новый "интуитивно очевидный" метод тансфинитной индукции' действительно нов и действительно очевиден?
 
V.A.Gonsky: Имелось в виду, что он новый относительно той системы аксиом, в которой теорему нельзя доказать, т.е. системы Пеано.
 
Теперь понял и согласился - в части новизны.
 
V.A.Gonsky: Словосочетание "интуитивно очевиден" имеет в нашем контексте несколько другой смысл, чем в обычном словоупотреблении. То есть "очевиден" только интуитивно, хотя это, в некотором роде, тавтология.
 
Если я правильно понял, трансфинитную индукцию можно постичь только посредством интуиции? Имеет ли эта интуиция отношение к интуиционизму?
 
Мне кажется, что вопрос о сущности и роли интуиции в математике очень труден. Нужно разграничить собственно математику, как структуру, и математическое творчество - в широком смысле, как постижение этой структуры человеческим разумом. Книги, которые у меня под рукой, говорят мне, что и сейчас сосуществуют различные точки зрения на этот счет.
 
V.A.Gonsky: Кроме "проверить" и "поверить" существует и третья альтернатива - постулировать. Ведь, по сути дела, математика именно этим и занимается, она постулирует законы некоторого мира (а ля платоновский мир идеальных сущностей, постижимых интеллектом). Затем встает вопрос, работают ли эти законы, будучи применены к законам мира реального. Сплошь и рядом оказывается, что да, и совершенно неважно, что мы можем и не найти в реальном мире точного соответствия какой-нибудь абстрактной математической идее, вроде мнимого числа.
 
1. Мне кажется, "постулировать" - значительно ближе к "поверить", чем к "проверить", если речь идет об областях математики, уже не связанных непосредственно с реальным миром?
 
2. Конечно, никто не говорит о том, что математический мир "точечно" отображается на реальный; хотя, если говорить о мнимой единице, то вот Вам точное соответствие: поворот вала на 90 градусов. Так же точно, как обычной единице можно сопоставить продольное перемещение этого вала на единицу длины.
 
Интересно в этом соответствии другое. Математика берет нечто от эмпирического опыта. Потом обрабатывает это нечто внутри себя, своими средствами - ни разу не оглянувшись на предметную область, откуда это "нечто" она поперла. Получается результат - и оказывается, он соответствует реальности. Триада.
 
1. Пример элементарный, но очень красивый. Задача Джанфранческо ди Тоски ди Фаньяно (даже название очаровываетSmiley ) - на мой вкус, жемчужина элементарной геометрии.
 
Дан остроугольный треугольник ABC; на его сторонах AB, BC, AC соответственно выбираются точки P,Q,R. Каким должен быть выбор, чтобы треугольник PQR имел минимальный периметр?
 
Природа решает эту задачу непринужденно и подсказывает ответ: следует даже не изготовить, а представить себе модель: ABC из скользких стержней и резиновый треугольник PQR - он сам найдет дорогуSmiley
 
А как решает эту задачу математик? Вот решение, предложенное Радемахером. Комбинация двух замечательных идей. Сделайте чертеж и получите удовольствие.
 
а) Зеркально отразим точку P в сторонах ВС и AC - получатся точки P' и P". Заметим, что периметр PQR равен длине ломаной P'QRP" - и минимален (при фиксированной P), если Q и R лежат на прямой P'P".
 
(Nota Bene - сработал фундаментальнейший факт евклидовой геометрии - неравенство треугольника; отрезки - суть геодезические).
 
б) Теперь заметим, что угол C в равностороннем треугольнике P'CP" постоянен (равен удвоенному углу С в треугольнике ABC). Поэтому основание P'P" тем короче, чем короче боковая сторона, равная CP. Итог: P - основание высоты. Q и R тогда - тоже.
 
(Nota Bene - сработал другой фундаментальный факт - длина перпендикуляра меньше длин наклонных)
 
Вот соответствие, лично меня оно впечатляет. "Бог землемерит" (Платон).
 
(Кстати, если я и платоник, то стихийный. Какого бога имеет в виду Платон? Не Зевса же? Это монотеистический Бог?)
 
2. Приведу пример из близкой мне области. Пусть дан некий "одномерный континуум" то есть струна, гибкая линейка, зажатая или шарнирно опертая на концах, свободно висящая цепь или что-то подобное, протяженное от a до b. Пусть этот механический континуум обладает интуитивно понятным свойством: если на него надавить n поперечными точечными силами (пальцамиSmiley ), то число перемен знака у прогиба не превысит n-1 (струна, линейка, цепь именно таковы).
 
Это статическое свойство, оно правдоподобно, но, конечно, в точности не проверяемо. Проверив его для малых n, поверим, что оно выполнено для всех n. Примем его за "аксиому" и начнем исследовать.  
 
Исследование оказывается изощренным - привлекаются самые различные средства алгебры, функционального анализа, теории аналитических функций, конструктивной теории функций, определенные разделы теории дифференциальных уравнений; обнаруживаются неожиданные обратные связи с этими областями, а также с теорией вероятностей, со статистикой, даже с теорией игрSmiley
 
Возникает замечательно красивая математическая теория, которой уже струна и линейка не очень-то и нужны. Но что же они? Оказывается, они должны иметь счетный набор частот собственных колебаний; каждой собственной частоте соответствует только одна форма собственного колебания; и n-е собственное колебание должно иметь в точности n-1 знакоперемену (заметьте, аксиома обращалась к статике, а теорема говорит о динамике). Струна, линейка, цепь именно таковы.  
 
Как оценивать это достижение? О струне, линейке, цепи мы ничего нового не узнали - для каждой из них этот факт можно установить, найдя явные решения соответствующих уравнений. Но мы открыли, почему они таковы, открыли внутреннюю их общую природу. Если угодно, приоткрыли промысел Творца в отношении нихSmiley В части же математики получилась элегантная теория (осцилляционных операторов), лежащая на стыке самых различных областей. А раз она внутренне-элегантна, она не должна остаться без приложений. Такая типичная математическая вера.
 
И верно, достижение не остается без награды. Эта теория возникла из задач теории малых колебаний. Но оказалось, что она имеет применения и в других контекстах: к задачам теории бифуркаций, например (первым это сделал В.И. Юдович в работе об ответвлении тейлоровских вихрей от течения Куэтта). А там, в теории бифуркаций, Бог не настаивает, чтобы соответствующие операторы были самосопряжены (как в теории малых колебаний) - они таковыми, как правило, и не являются. И результаты теории осцилляционных операторов (во многом параллельные результатам теории операторов самосопряженных) оказываются тем более ценными. Владимир, Бенедикт: в той совместной работе, которую я цитировал в постинге "Модели", нам удалось обосновать рождение тейлоровских вихрей между разновращающимися цилиндрами - именно с помощью этой теории. И притом развивши саму эту теорию в совершенно неожиданном направлении - вот последнее, каюсь, мне гораздо более интересно, чем конкретно вихри Тейлора. Около пяти лет интенсивной работы и куча идей, с которыми я разбираюсь до сих порSmiley
 
Таков мой личный опыт, который, наверное, вместе с влиянием учителя и шефа, и сформировал мои вкусы и взгляды на природу математики и математического творчества. В общем, это, быть может, наивная, но вера в (доброго, хоть и хитрого) математического Бога; не знаю, тождественен ли он Богу Библии. Вавилону и такая вера, как я понимаю, избыточна; но зачем мне от нее отказываться, я не понимаю.
 
V.A.Gonsky: Если говорить о том, _для чего_ используются аксиомы (а я первоначально говорил именно об этом), то в качестве такого примера можно привести специальную теорию относительности. Следствия из аксиом ньютоновской механики (а это, конечно, математическая теория) перестали удовлетворять требуемым критериям точности в тех масштабах, на которых их потребовалось рассматривать, и они были соответствующим образом скорректированы.
 
Мне кажется, здесь кое-что может быть уточнено.  
 
Простой пример. Если нас не удовлетворяет уравнение математического маятника, мы корректируем его, добавляя еще одно слагаемое, учитывающее трение - возможно, с очень малым, но ненулевым коэффициентом. Это, действительно, коррекция - внесение поправки. С экспериментальной точки зрения это ведет к количественным - малым, но уточняющим изменениям. Для определения, например, периода колебаний маятника такое усложнение может оказаться излишним. Однако с точки зрения математики модель изменилась качественно. Причем модель маятника без трения сохранияет все права на существование - как и совсем упрощенная линейная модель гармонического осциллятора.
 
В случае с ньютоновой и релятивистской механикой дело обстоит иначе. Насколько я понимаю, побудительной причиной возникновения последней была не недостаточная точность старой теории, а то, что ньютонова (и галилеева) модель Вселенной оказалась в принципе неспособной объяснить некоторые факты физики. И следствием была не дополнительная коррекция каких-то уравнений (как в примере с маятником), а полный пересмотр представлений о пространстве и времени. На уровне, так сказать, натурфилософии. Получилась совсем иная математическая модель, построенная на иных принципах.
 
Однако классическая механика прекрасно сохранилась - и как математическая теория, и как эффективный инструмент познания природы. "Замены" не произошло.  
 
Вот я и утверждаю, что в этом особенность математических теорий - они не отменяются как несовершенные или ложные, и не пересматриваются. Пересматривается их роль во взаимодействии с естественными науками, это так. Но сами они обладают своей особой объективной реальностью и развиваются по своим собственным законам. Мне кажется, наивно было бы считать, что это человек их развивает в нужную сторону, поглядывая, что делается в природе и сообразуясь с нею.
 
В какой-то мере это, конечно, так, но не оставляет ощущение, что они, теории, сами подсказывают человеку, куда им хочется развиваться - через интуицию и странное "чувство гармонии". И потом человек обнаруживает, что его вели в правильном направлении Smiley Он хотел только понять и объяснить, например, по какой причине неразрешимы в радикалах уравнения выше четвертой степени. Частная задача, просто интеллектуальный вызов, который хочется принять. Никакой эмпирики и рационального релятивизма. А получилась теория групп - попробуйте ее отнять у физиков Smiley Вспоминается отец Кабани из ТББSmiley
 
Таким образом, мне понятно и близко мироощущение Шарля Эрмита - который, кстати, был верующим человеком. Пуанкаре (а он был учеником Эрмита, но не разделял его мировоззрения), считал, что неприятие Эрмитом идей Кантора было того же рода, что и недовольство Эру самодеятельностью Аулэ. Кантор, считал Эрмит, спешил создавать свое, вместо того, чтобы исследовать созданное Творцом. А это грех перед Господом. Однако, замечу уже я, время показало, что Кантор был прощенSmiley
Зарегистрирован
Страниц: 1 ... 3 4 5 6  Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать

« Предыдущая тема | Следующая тема »

Удел Могултая
YaBB © 2000-2001,
Xnull. All Rights Reserved.