Сайт Архив WWW-Dosk
Удел МогултаяДобро пожаловать, Гость. Пожалуйста, выберите:
Вход || Регистрация.
07/23/19 в 12:11:43

Главная » Новое » Помощь » Поиск » Участники » Вход
Удел Могултая « Догма и аксиома »


   Удел Могултая
   Вавилонская Башня
   Вавилонская Блудница и ее обычай
   Догма и аксиома
« Предыдущая тема | Следующая тема »
Страниц: 1 ... 4 5 6  Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать
   Автор  Тема: Догма и аксиома  (Прочитано 14931 раз)
Guest is IGNORING messages from: .
Bark
Редкий гость
**


Белый Ворон

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 35
Два примера ДОГМАТИЗМА в математике
« Ответить #75 В: 11/03/04 в 15:49:14 »
Цитировать » Править

Наткнувшись на дискуссию "Догмы и аксиомы", я стал размышлять над нею и рыться в книжках. И обнаружил в "Лекциях о развитии математики в XIX столетии" Феликса Клейна (опубликованы в 1926 посмертно, русский перевод 1937; 1989) два отрывка, которые, на мой взгляд, прекрасно иллюстрируют взаимоотношения между "аксиомами" и "догмами" внутри математики. Точнее, не догмами, а проявлениями догматизма.
 
Не все цитированное относится к существу вопроса; но очерк о Грассмане так хорош, что я не устоял перед искушением процитировать его почти полностью, опустив лишь специальные математические объяснения. Надеюсь, это простят мне посетители Удела и участники дискуссии. Сначала я хотел выделить то, что кажется мне непосредственно относящимся к дискуссии, жирным шрифтом, но потом, когда речь пошла о Гамильтоне и его кватернионах, передумал.

 
_______________________________________
 
ГРАССМАН
 
А теперь мы обратимся к Грассману, идеи которого заслуживают более подробного изложения.
 
Личность Грассмана и его работы отчетливо предстают перед нами в его "Трудах", изданных в 1894-1911 гг. тремя двойными томами по поручению Лейпцигского научного общества. В третьем томе содержится подробная, написанная Энгелем биография, весьма заслуживающая того, чтобы ее прочитать. Эта статья Энгеля тем более достойна внимания, что она свободна от принятого в секте грассманианцев обычая некритически прославлять своего учителя.
 
Герман Грассман родился в 1809 г. в Штеттине. Он происходил из старинной протестантской пасторской семьи в традиции которой входили и научные, и художественные интересы. Это происхождение Грассмана сыграло в его жизни важную роль. Под постоянным влиянием семейных традиций его тихая, медлительная натура развивалась по собственному пути и по собственным законам. Весьма характерно, что Грассман начал свой научный путь с изучения богословия и филологии, которыми он с 1827 по 1830 занимался в Берлине - отчасти под влиянием Шлейермахера, а в остальном - в порядке самообразования.
 
Лекций по математике Грассман не слушал никогда, но примерно в 1832 г. он начал самостоятельные занятия этой наукой. Только в 1839/40 г., уже после того, как он с 1836 г. был учителем в Штеттине (а еще раньше - в Берлине), Грассман подвергся дополнительному экзамену на звание преподавателя математики, написав работу о приливах и отливах. В 1842 г. он сделался преподавателем Штеттинской гимназии и оставался в этой должности до самой смерти, последовавшей в 1877 г.
 
Таким образом, несмотря на всю оригинальность и значение его трудов, Грассман никогда не преподавал в университете, равно как и вообще, вследствие своеобразного развития его научной деятельности, он как математик в разгар своей жизни не получил настоящего признания. Понятно, что Грассман часто жаловался на эту несправедливость судьбы, и тем не менее, в этом для него крылисьи определенные преимущества, последствия которых можнозаметить как в работах Грассмана, так и в его личности. Мы, работающие в высших учебных заведениях, вырастаем в атмосфере острой конкуренции с людьми, стремящимся к тем же целям,что и мы сами. Мы растем подобно дереву в лесу, которое чтобы иметь возможность выжить и отвоевать себе часть света и воздуха, должно устремляться ввысь,а не вширь. Но кто стоит одиноко, как Грассман, тот может свободно развиваться во все стороны, доводя свою сущность и свои дела до гармонического завершения и образуя из них единое целое. Правда, подобной всесторонности, воплощением которой был Грассман, с неизбежностью бывает присуща и определенная доля дилетантизма - черта, отчетливейшим образом повредившая его работам, написанным в старости.
 
Производит потрясающее впечатление количество и разнообразие вопросов, которыми Грассман занимался и в решение которых он внестворческий вклад. Он был не только отмеченным печатью высшей оригинальности математиком с ярко выраженными философскими интересами, но и физиком теоретического и практического склада, которому мы обязаны великолепными работами в области теории электрического тока, учения о свете, о гласных звуках. Исследования, относящиеся к последней из перечисленных областей, - они велись параллельно с мсследованиями Гельмгольца и высоко им ценились - стали возможны в первую очередь благодаря тончайшему музыкальному слуху Грассмана, проявлявшего к музыке большой интерес и обладавшего исключительной музыкальной одаренностью. Наряду с этим развивались и его филологические наклонности. В частности, Грассман очень интересовался сравнительным языкознанием и сделал здесь много полезного. Эта область знания обязана ему словарем к Ригведе, сборником немецких народных песен, исследованиями о названиях растений в немецком языке и многим другим. При всем том Грассман еще находил время и для деятельнейшего участия в современной ему общественной жизни. Его живейшим образом интересовали политические и социальные вопросы, вопросы церковной жизни. На протяжении многих лет он был редактором газеты; у франкмасонов он считался своим и его возвели в звание мастера ложи; особо деятельный интерес проявлял он к миссионерству в Китае.
 
При виде такого сверхобилия деятельности никто не может удивиться тому, что Грассману хотя бы в чем-то одном все-таки было отказано природой - он был плохим учителем. Правда, и к этой своей профессии он относился со свойственной ему добросовестностью; однако его слишком любезное, скромное и неизменно приветливое обращение с учениками не способствовало тому, чтобы завоевать себе у них уважение. Грассман бывал доволен, если ему удавалось заинтересовать своим предметом нескольких учеников и смирялся с тем, что бестолковоебольшинство забавлялось, не очень оберегая его чувства, - яркий и предостерегающий пример того, что деловые качества преподавателя не всегда идут рука об руку с его научным значением и научной продуктивностью.  
 
Обратимся теперь к научным достижениям Грассмана. Они представлены его большим трудом "Ausdehnungslehre" ("Учение о протяженности"), первое издание которого, посвященное одной лишь аффинной геометрии, было опубликовано в 1844 г.; второе издание (1861 г.) излагает ту же самую теорию, но совершенно иным способом и включает в себя также и метрическую геометрию. Обе книги написаны чрезвычайно малодоступным образом и почти невозможной для чтения форме. В первой из них весь материал выводится из самых общих философских понятий без каких бы то нибыло формул. Во второй автор оперирует уже с n координатами, вводит огромное количество новых терминов и алгорифмов. Написана она абсолютно строго и систематично, в евклидовой манере. Чтобы дать представление о ее содержании, я попытаюсь изложить суть этой книги нынешним языком.
 
[skip. Должен сказать, что разработанная Грассманом "внешняя алгебра" является необходимым инструментом в моей собственной научной работе - я интересуюсь спектральными свойствами некоторых специальных классов линейных операторов. Bark]
 
На этом я вынужден закончить мои замечания по поводу результатов Грассмана. Однако прежде, чем окончательно распроститься с ними, я не могу не отдать должное тому странному влиянию, источником которого он был и следы которого чувствуются еще и в наше время. Две вещи, заключенные в характере Грассмана и в его судьбе, делают его - и чем дальше, тем больше - главой некоей школы, или, лучше сказать, секты, погрязшей в обычном для таких ситуаций фанатизме. Первая их них - это его ярко выраженная склонность к своеобразным алгорифмам, к которым посвященный привыкает настолько сильно, что они принимают для него обязательное значение и становятся характерной приметой, тесно сплачивающей адептов. При этом возникает серьезная опасность, что ортодоксальный интерес к корректности принятой манеры выражаться нанесет ущерб тому, что, собственно, и существенно с точки зрения математики - энергичному исследованию проблемы. [Однако, с другой стороны, я всегда считал, что для успешности такого исследования важно соблюдать определенную "методологическую чистоту" - "Следи как ступаешь, в дом Божий идя". Bark] Избежать этой опасности удавалось далеко не всегда. И, во вторых, немаловажную роль играет то обстоятельство, что Грассман действительно не получил при жизни признания, которого заслуживал, и что его приверженцывидят в нем мученика, которого для того, чтобы восстановить его значение, надо окружить ореолом. Именно этим и объясняется, что они стремятся к необычному выбору терминов и вычислительных приемов, дабы наперед освободить себя и своего учителя, которому они задним числом хотят снискать почет и славу, от всего обыкновенного и таким образом уйти от сравнения и конкуренции...
 
_____________________________________________
 
ГАМИЛЬТОН
 
Все эти атрибуты убежденного сектантства проявляются и у кватернионистов, учеников Гамильтона, к исследованиям которого по данной тематикемы сейчас и перейдем. Нечего и говорить, что грассманианцы и кватернионисты ведут друг с другом ожесточенную борьбу, причем обе эти школы в свою очередь распадаются на дико враждующие группировки.
 
Вильям Роуан Гамильтон родился в 1805 г. в Дублине. Как и Сальмон, он вышел из Тринити-колледжа, который блестяще окончил в ранней молодости. Уже в 1827 г. он получил почетную и видную должность директора обсерватории в Денсинке близ Дублина со званием королевского астронома Ирландии. Пост этот он сохранял до конца своей жизни (1865 г.).
 
Гамильтон обладал необычайной по блеску, многогранной одаренностью, замечательнейшим образом проявившейся уже в ранние его годы. В десятилетнем возрасте он наизусть знал Гомера, начал изучать арабский язык и санскрит; уже через несколько лет он знал тринадцать языков, которыми владел в совершенстве. При этом он имел столь же сильно развитые художественные наклонности; до самых поздних лет он был весьма плодовитым поэтом и в течение всей жизни находился в дружеских отношениях с Вордсвортом. Тот, кто хотел бы поближе познакомиться с личностью Гамильтона и с историей его развития, с удовольствием прочтет толстую трехтомную биографию, опубликованную в 1882-1889 г. Р.П. Грейвзом. Однако, будучи написана нематематиком, она более посвящена Гамильтоку как человеку, нежели как ученому. О конце жизненного пути Гамильтона в ней нет никаких подробностей. Как мне рассказывали в Дублине, в свои последние годы он вел себя странно, чтобы не сказать безумно; видимо, его слишком рано развившийся ум быстро перенапрягся и исчерпал себя раньше, чем об этом можно было бы  подумать судя по его возрасту. Творчество Гамильтона обладает характерной чертой - всюду в его работах рассыпаны новые, остроумные наметки, которые затем теряются среди подробностей, так и не приводя ни к какому полному, завершенному результату.
 
[skip, математические детали. Bark]
 
C этого времени Гамильтон все с бОльшим интересом занимается вопросом о том, возможно ли - путем введения каких-либо новых комплексных чисел - перенести на случай пространства, то есть на случай нашего обычного R3, оказавшуюся такой полезной геометрическую интерпретацию (на плоскости) действий над числами вида x+iy. Его неустанные усилия в конце концов привели его в 1843 г. к открытию кватернионов - специально устроенных четырехчленных чисел, исследованию и распространению которых он с этого момента полностью посвятил всего себя. Теория этиих чисел изложена им в следующих двух обстоятельных трудах:
 
[skip, ссылки]
 
Очень скоро в математическом Дублине интерес ккватернионам стал превалировать над всем остальным; по ним был установлен специальный экзамен, и без их знания немыслимо было окончание колледжа. Сам Гамильтон сделал их чем-то вроде ортодоксальной части своего математического кредо и подгонял под них все свои геометрические и прочие интересы тем сильнее, чем больше к концу жизни становился односторонним и омрачался под действием алкоголя  его ум.
 
Как я уже отмечал, вокруг Гамильтона сложилась школа, которая в своей жесткости и нетерпимости превзошла даже своего учителя. Она ничего не могла вызвать, кроме противодействия, и потому кватернионы - например, в Германии - встречали упорноесопротивление со стороны математиков, пока они все-таки кружным путем, через физику, не проникли в видевекторного анализа, необходимого в первую очередь в динамике.
 
И если теперь я расскажу о кватернионах - как я их уяснил себе с течением времени - несколько более подробно, то я буду придерживаться при этом привычных нам идей и буду сознавать, что я не только становлюсь на точку зрения, резко противоположную позиции гамильтонианцев, учитель которых придал своему открытию совсем другой внешний облик, но что с точки зрения этой партии я и сейчас не имею права называть кватернионами то, о чем я собираюсь говорить... Однако я слишком часто убеждался в тщетности попыток добиться здесь какого-либо взаимопонимания, чтобы принимать в расчет эти возражения.
 
[skip, математические разъяснения. Клейн, в частности, отмечает сходство, и одновременно различие, между "внешними произведениями" Грассмана и "векторным произведением" Гамильтона. Bark]
 
Легкость и изящество, с которыми получаются здесь глубочайшие по своему содержанию теоремы, действительно поразительны. Этим и объясняется восхищение кватернионистов своей системой, восхищение, которое отвергало все остальное и, как уже отмечалось, вскоре вышло за пределы разумного настолько, что стало наносить ущерб не только математике в целом, но и самой теории кватернионов. Такому развитию событий способствовал и доведенный до совершенства, с благоговейным почитанием возделанный формализм... Конечной целью явилось - и остается поныне - построение теорий функций кватернионов, от которой ждали совершенно новых, необычайных по своему охвату открытий общематематического значения. Чтобы содействовать достижению этой цели, не очень определенной, но принятой с верой в нее, в 1885 г. был даже основан "Всемирный союз в поддержку кватернионов"! Независимо даже от того, что всегда более правильно скептически относиться к такого рода культивированию и насаждению какого-либо одного научного направления, теперь уже можно с определенностью утверждать, что предприятие это должно считаться потерпевшим крушение или, во всяком случае, бесплодным...
 
Однако, упрямо следуя намеченным путем, кватернионисты упустили из виду более глубокие проблемы, представлявшие для науки действительный интерес. Так, из-за своей предвзятости они не понялитого простого факта, что, кинув на сложившуюся ситуацию взгляд сверху, они приобрели бы отчетливое представление относительно границ области, где применение их теории является плодотворным, и что вместе с этими ограничениями они получили бы и четкие указания относительно ведущего к успеху пути.
 
Этим более глубоким осознанием создавшегося положения вещей мы обязаны Кэли...
Зарегистрирован
Бенни
Administrator
*****


б. Бенедикт

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2542
Re: Догма и аксиома
« Ответить #76 В: 11/14/04 в 14:51:40 »
Цитировать » Править

Барк, прекрасные очерки! Только, наверное, действительно стоило бы выделить то, что, на твой взгляд, имеет отношение к дискуссии. Мне связь не очень понятна. Ты имеешь в виду, что школы Грассмана и Гамильтона абсолютизировали идеи своих основоположников, и это пошло во вред математике? Так, по-моему, этой констатацией Клейн льет воду как раз на вавилонскую мельницу.Smiley
 
Теперь - о якобы внеэмпирической природе математических понятий. В частности, пустого множества и бесконечности. Конечно, верить в нее можно. Но совершенно необязательно. Я вижу в понятии пустого множества абстрактное выражение вполне конкретного опыта: отсутствия в наших ощущениях чего-то, о чем мы думаем. Например, я думаю о собаках, представляю их себе, но, осматривая свою комнату, я не вижу ничего похожего на собаку, а вижу что-то другое, и делаю вывод, что множество собак, находящихся в моей комнате, пусто. Аналогично, понятие бесконечности изначально, вероятно, попросту выражало нашу неспособность пересчитать что-то очень многочисленное или измерить что-то очень большое по сравнению с нами и отсутствие необходимости в этом. Это подтверждается и историей философии: мировой океан, первооснова всех вещей в теории Фалеса, еще близкой к мифологии, у его ученика Анаксимандра превратился в бесконечность (апейрон). Так и все абстрактные понятия, на мой взгляд, соответствуют лишь определенным аспектам нашего опыта в отрыве от других, и не более. И в языке и науке укореняются в первую очередь те из них, которые приносят не только эстетическое удовлетворение, при всей его важности и ценности, но и практическую пользу.
 
2V.A.Gonsky:
Quote:
НЧ в том племени все те же, просто за недостатком развития "железа" они не идут дальше двух.

 
В.А., так с тем же успехом можно сказать, что понятия, скажем, о недопустимости причинения вреда своим из садистских побуждений у всех одинаковые, только круг "своих" для дикаря ограничивается собственным родом, а для европейца (в этом отношении) включает все живые существа.
 
А в машинах Тьюринга я не разбираюсь, но вполне возможно, что многие утверждения можно доказать и запуском, и применением вспомогательной программы.
« Изменён в : 11/15/04 в 00:39:57 пользователем: Бенни » Зарегистрирован
V.A.Gonsky
Живет здесь
*****


Стрелочник

   
Просмотреть Профиль »

Сообщений: 2062
Re: Догма и аксиома
« Ответить #77 В: 11/15/04 в 11:53:37 »
Цитировать » Править

on 11/14/04 в 14:51:40, Бенедикт wrote:
В.А., так с тем же успехом можно сказать, что понятия, скажем, о недопустимости причинения вреда своим из садистских побуждений у всех одинаковые, только круг "своих" для дикаря ограничивается собственным родом, а для европейца (в этом отношении) включает все живые существа.

Свои-чужие - это граница, проводимая конвенционально. С точки зрения нашей этической системы, мы понимаем, что это другое положение границы, и готтентот со своей точки зрения понимает, что у нас граница другая.  
Что же касается счета индейцев, то они используют для него другую полугруппу, не N, а {0(?),1,2,бесконечность}. Это не отменяет существования натуральных чисел в "платоновском" смысле, просто европейцы их открыли, а индейцы - нет. Важно то, что НЧ принципиально постижимы - а это, несомненно, так.
 
2 Bark
Извините, не заметил вопросов, приношу извинения за задержку.
Quote:
Если я правильно понял, трансфинитную индукцию можно постичь только посредством интуиции? Имеет ли эта интуиция отношение к интуиционизму?

Имелось в виду, что трансфинитная индукция является обобщением неких интуитивных представлений о допустимых методах доказательств. И их, в такой ситуации, приходится находить каждый раз новые, раз и навсегда существующих методов допустимого доказательства не существует, в том смысле, что недостаточно - по т.Гёделя.
К интуиционизму эта точка зрения отношения не имеет.
Quote:
1. Мне кажется, "постулировать" - значительно ближе к "поверить", чем к "проверить", если речь идет об областях математики, уже не связанных непосредственно с реальным миром?  
 
2. Конечно, никто не говорит о том, что математический мир "точечно" отображается на реальный; хотя, если говорить о мнимой единице, то вот Вам точное соответствие: поворот вала на 90 градусов. Так же точно, как обычной единице можно сопоставить продольное перемещение этого вала на единицу длины.

Есть все же разница между поверить и постулировать. Постулирование самим своим актом создает некую реальность (идеальную).
Когда священник говорит: "засим объявляю вас мужем и женой", он не высказывает предположение, ни доказывает. Он именно, что утверждает новый порядок вещей. Математик тоже постулирует: да будут комплексные числа. Делитесь и умножайтесь. Smiley
Вопрос о том, обязаны ли соответствовать математические конструкции чему-либо в физической реальности, как мне кажется, не имеет особого значения. Математики могут обращаться с математическими объектами непосредственно по правилам математической реальности, не прибегая к аналогиям. Это как правила игры в шахматы не обязаны соответствовать каким-то физическим законам. Ну а если математический результат еще и физическую теорию порождает - так это здорово, но может и не породить, в общем-то.
Quote:
В случае с ньютоновой и релятивистской механикой дело обстоит иначе. Насколько я понимаю, побудительной причиной возникновения последней была не недостаточная точность старой теории, а то, что ньютонова (и галилеева) модель Вселенной оказалась в принципе неспособной объяснить некоторые факты физики. И следствием была не дополнительная коррекция каких-то уравнений (как в примере с маятником), а полный пересмотр представлений о пространстве и времени. На уровне, так сказать, натурфилософии. Получилась совсем иная математическая модель, построенная на иных принципах.  

Ну так о том и речь. Математическая модель же базируется на аксиомах, и если предыдущая система аксиом нас не удовлетворяла, сиречь, выводы из нее не соответствовали наблюдаемым физическим явлениям, то начинали искать другую. Конечно, сами по себе евклидова геометрия, ньютонова механика, максвеллова электродинамика и прочие физические теории, будучи "уволены" с должности "общей теории всего", преспокойненько себе продолжают существование в качестве стройных и, в определенном смысле, пригодных для описания физического мира теорий. Ну а будет ли найдена исчерпывающая математическая теория физического мира (и тем самым, устанавливающая изоморфизм некоторой области математики с реальностью) - вопрос интересный, и совершенно не понятно, будет ли на него дан положительный ответ.
« Изменён в : 11/15/04 в 12:00:26 пользователем: V.A.Gonsky » Зарегистрирован

Люди которые не говорят глупостей ни про евреев, ни про церковь, встречаются нечасто, и за них я стараюсь держаться и брать с них пример во всём, не ошибешься ©
Страниц: 1 ... 4 5 6  Ответить » Уведомлять » Послать тему » Печатать

« Предыдущая тема | Следующая тема »

Удел Могултая
YaBB © 2000-2001,
Xnull. All Rights Reserved.